Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем

В общем случае дифференциальное уравнение, связывающее изменение во времени входной и выходной сигналы линеаризованной системы, имеет следующий вид:

Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №1 - открытая онлайн библиотека

(2.5)

Решение дифференциальных уравнений (2.3) – (2.4) зачастую связа­но со значительными трудностями, а во многих случа­ях, например в следящих системах, не может быть осу­ществлено, так как неизвестно управляющее воздейст­вие. По этим причинам исследование систем ведется косвенными методами, например, базирующимися на операционном преобразовании Лапласа.

Приведем основные сведения о преобразовании Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Преобразованием Лапласаназывают интегральное преобразование:

Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №2 - открытая онлайн библиотека , (2.6)

определяющее соответствие между функцией Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека вещественного переменного (в рассматриваемой теории – функцией времени Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №4 - открытая онлайн библиотека ) и функцией Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №5 - открытая онлайн библиотека комплексного переменного Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №6 - открытая онлайн библиотека . При этом Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека называют оригиналом, а Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №5 - открытая онлайн библиотекаизображениемили изображением по Лапласу. Символическая запись такого преобразования:

Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №5 - открытая онлайн библиотека = Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №10 - открытая онлайн библиотека ,

где Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №11 - открытая онлайн библиотека – оператор преобразования Лапласа.

Предполагается, что функция времени Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека , которая подвергается преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:

· Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека определена и дифференцируема на всей положительной числовой полуоси Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №14 - открытая онлайн библиотека ;

· Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека = 0 при Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №16 - открытая онлайн библиотека ;

· существуют такие числа М и Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №17 - открытая онлайн библиотека , что Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №18 - открытая онлайн библиотека при Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №19 - открытая онлайн библиотека .

Функции, обладающие указанными тремя свойствами, часто называют функциями-оригиналами.

Соотношение

Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека = Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №21 - открытая онлайн библиотека , (2.7)

определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль прямой Re p = Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №22 - открытая онлайн библиотека . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать так:

Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №3 - открытая онлайн библиотека = Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №24 - открытая онлайн библиотека ,

где Основные свойства преобразования Лапласа. Операторные уравнения САУ. Передаточные функции линейных звеньев и систем - №25 - открытая онлайн библиотека – символ обратного преобразования Лапласа.