Основные сведения из теории

Рассмотрим нормальное распределение для системы произвольного числа Основные сведения из теории - №1 - открытая онлайн библиотека случайных величин – вектора Основные сведения из теории - №2 - открытая онлайн библиотека в Основные сведения из теории - №1 - открытая онлайн библиотека -мерном пространстве. Его плотность записывается в виде:

Основные сведения из теории - №4 - открытая онлайн библиотека Основные сведения из теории - №5 - открытая онлайн библиотека Основные сведения из теории - №6 - открытая онлайн библиотека , (8.1)

где

Основные сведения из теории - №5 - открытая онлайн библиотека Основные сведения из теории - №8 - открытая онлайн библиотека , (8.2)

Основные сведения из теории - №9 - открытая онлайн библиотека . (8.3)

В силу симметрии ковариационной матрицы ( Основные сведения из теории - №10 - открытая онлайн библиотека ) обратная ковариационная матрица также обладает свойством симметрии

Основные сведения из теории - №11 - открытая онлайн библиотека . (8.6)

Если нормально распределенные случайные величины независимы (некоррелированы) и при этом Основные сведения из теории - №12 - открытая онлайн библиотека , Основные сведения из теории - №13 - открытая онлайн библиотека , то их плотность распределения может быть записана в виде:

Основные сведения из теории - №14 - открытая онлайн библиотека , (8.7)

которая называется канонической (простейшей) формой нормального закона системы Основные сведения из теории - №1 - открытая онлайн библиотека случайных величин Основные сведения из теории - №16 - открытая онлайн библиотека .

Для наглядного представления плотности распределения можно получить уравнение Основные сведения из теории - №1 - открытая онлайн библиотека -мерного гиперэллипсоида из условия

Основные сведения из теории - №18 - открытая онлайн библиотека , (8.8)

или для случая (8.7)можно записать

Основные сведения из теории - №19 - открытая онлайн библиотека (8.9)

При Основные сведения из теории - №20 - открытая онлайн библиотека получаем уравнение эллипса равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости Основные сведения из теории - №21 - открытая онлайн библиотека (рис.5.1):

Основные сведения из теории - №22 - открытая онлайн библиотека (8.10)

Основные сведения из теории - №23 - открытая онлайн библиотека Центр этого эллипса находится в начале координат, его полуоси равны: Основные сведения из теории - №24 - открытая онлайн библиотека ; Основные сведения из теории - №25 - открытая онлайн библиотека .

Рис.8.1. Уравнение эллипса равной плотности

При Основные сведения из теории - №26 - открытая онлайн библиотека получим уравнение эллипсоида равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве трех измерений (рис.8.2):

Основные сведения из теории - №27 - открытая онлайн библиотека (8.11)

Центр этого эллипсоида находится в начале координат, его полуоси равны: Основные сведения из теории - №28 - открытая онлайн библиотека ; Основные сведения из теории - №29 - открытая онлайн библиотека ; Основные сведения из теории - №30 - открытая онлайн библиотека .

Основные сведения из теории - №31 - открытая онлайн библиотека

Рис. 8.2. Уравнение эллипсоида равной плотности