Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей

Лемма 5.1. Из m элементов a1,…,an первой группы и n элементов b1,…,bn второй группы можно составить ровно m∙n упорядоченных пар вида (ai, bj), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотека (a1, b1), (a1, b2), …, (a1, bn), Всегоm∙n пар Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №2 - открытая онлайн библиотека

(a2, b1), (a2, b2), …, (a2, bn), m строк

… … … … … … ...

(am, b1), (am, b2), …, (am, bn).

n столбцов

Пример 5.2.В колоде карт 4 масти (черва, пика, трефа, бубна), в каждой масти по 9 карт или по 13 карт, тогда в колоде либо n=4∙9=36 карт, либо n=4∙13=52 карты.

Лемма 5.3. Из n1 элементов первой группы a1, a2,…, Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №3 - открытая онлайн библиотека ,

n2 элементов второй группы b1, b2,…, Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №4 - открытая онлайн библиотека ,

и т.д. … … … … … … … …

nk элементов k-той группы x1, x2,…, Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №5 - открытая онлайн библиотека .

можно составить ровно n1 ∙ n2 ∙…∙ nk различных упорядоченных комбинаций вида ( Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №6 - открытая онлайн библиотека Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №7 - открытая онлайн библиотека …, Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №8 - открытая онлайн библиотека ), содержащих по одному элементу из каждой группы.

Пример 5.4.При бросании двух игральных костей число различных упорядоченных комбинаций следующее: N = 62 = 36;при бросании трех костей – N=63=216.

Леммы 5.1 и 5.3 называются основными правилами комбинаторики.

Пусть имеется множество из n элементов { a1, a2,…, an}. Будем рассматривать выборки объёма k вида ( Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №9 - открытая онлайн библиотека , Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №10 - открытая онлайн библиотека , …, Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №11 - открытая онлайн библиотека ) из n элементов. Все выборки можно классифицировать по двум признакам:

1) упорядоченные и неупорядоченные;

2) с возвращением и без возвращения.

Если выборки считаются упорядоченными, то играет роль порядок элементов в выборке. Если же выборка неупорядоченная, то все выборки с одним и тем же составом элементов отождествляются.

Пример 5.5.Рассмотрим множество, состоящее из трёх элементов {1,2,3}. Составим таблицу числа выборок объёма k=2 из трёх элементов.

(1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3) (3,1), (3,2), (3,3) (1,1), (1,2), (1,3) (2,2), (2,3) (3,3) с возвращением
(1,2), (1,3) (2,1), (2,3) (3,1), (3,2) (1,2), (1,3) (2,3) без возвращения
упорядоченные неупорядоченные выборки

Общая таблица числа выборок объёма Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №12 - открытая онлайн библиотека из Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №13 - открытая онлайн библиотека элементов:

nk Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №14 - открытая онлайн библиотека с возвращением
Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №15 - открытая онлайн библиотека Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №16 - открытая онлайн библиотека без возвращения
упорядоченные неупорядоченные выборки

Определение 5.6.Упорядоченная выборка без возвращения называется размещением.

Число размещений Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №15 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №18 - открытая онлайн библиотека .

Пример 5.7. В лифт 12-этажного дома зашли 3 человека. Найти вероятность того, что все вышли на разных этажах.

Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотека Ω={(i1, i2, i3) | i1, i2, i3 Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №20 - открытая онлайн библиотека {2,3,…,12}},{ i1 Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №21 - открытая онлайн библиотека i2, i2 Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №21 - открытая онлайн библиотека i3} – Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №23 - открытая онлайн библиотека дополнительное условие для события А. Первое (Ω – Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №23 - открытая онлайн библиотека упорядоченные выборки с возвращением, n=113. Число благоприятствующих исходов k= Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №25 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека =9∙10∙11. По классическому определению вероятности Р(А)= Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №28 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №29 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №30 - открытая онлайн библиотека . Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №31 - открытая онлайн библиотека

Определение 5.8.Перестановкойиз kэлементов называется совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Число перестановок из k элементов Pk=k! (0!=1).

Определение 5.9.Произвольное k-элементное подмножество множества, состоящего из n элементов, называется сочетаниемиз n элементов по k элементов.

Обозначается число сочетаний из n элементов по k элементов через

Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №16 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №33 - открытая онлайн библиотека ; k Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №20 - открытая онлайн библиотека {0,1,…,n}.

Свойства сочетаний:

1) Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №35 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №36 - открытая онлайн библиотека =1;

2) Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №37 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №38 - открытая онлайн библиотека =n;

3) Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №16 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №40 - открытая онлайн библиотека ;

4) Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №41 - открытая онлайн библиотека + Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №16 - открытая онлайн библиотека = Основные правила комбинаторики. Выборки, сочетания. Аксиомы теории вероятностей - №43 - открытая онлайн библиотека .