Основные правила дифференцирования

Пусть Основные правила дифференцирования - №1 - открытая онлайн библиотека и Основные правила дифференцирования - №2 - открытая онлайн библиотека - дифференцируемые функции.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Основные правила дифференцирования - №3 - открытая онлайн библиотека

2. Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных:

Основные правила дифференцирования - №4 - открытая онлайн библиотека

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Основные правила дифференцирования - №5 - открытая онлайн библиотека

Доказательство:

а) Основные правила дифференцирования - №6 - открытая онлайн библиотека ; Основные правила дифференцирования - №7 - открытая онлайн библиотека

б) Основные правила дифференцирования - №8 - открытая онлайн библиотека

в) Основные правила дифференцирования - №9 - открытая онлайн библиотека

г) Основные правила дифференцирования - №10 - открытая онлайн библиотека , т.к. Основные правила дифференцирования - №11 - открытая онлайн библиотека .

4. Производная частного двух дифференцируемых функций при Основные правила дифференцирования - №12 - открытая онлайн библиотека имеет следующее выражение:

Основные правила дифференцирования - №13 - открытая онлайн библиотека

В частности: Основные правила дифференцирования - №14 - открытая онлайн библиотека ; Основные правила дифференцирования - №15 - открытая онлайн библиотека , где Основные правила дифференцирования - №16 - открытая онлайн библиотека

5. Производная сложной функции Основные правила дифференцирования - №17 - открытая онлайн библиотека , составленной из дифференцируемых функций Основные правила дифференцирования - №18 - открытая онлайн библиотека и Основные правила дифференцирования - №19 - открытая онлайн библиотека , равна произведению производной внешней функции Основные правила дифференцирования - №20 - открытая онлайн библиотека по промежуточному аргументу Основные правила дифференцирования - №21 - открытая онлайн библиотека на производную этого аргумента по независимой переменной Основные правила дифференцирования - №22 - открытая онлайн библиотека :

Основные правила дифференцирования - №23 - открытая онлайн библиотека

6. Если функция Основные правила дифференцирования - №24 - открытая онлайн библиотека имеет при некотором значении Основные правила дифференцирования - №25 - открытая онлайн библиотека отличную от нуля производную, то обратная функция Основные правила дифференцирования - №26 - открытая онлайн библиотека имеет в соответствующей точке Основные правила дифференцирования - №27 - открытая онлайн библиотека производную Основные правила дифференцирования - №28 - открытая онлайн библиотека , равную единице, деленной на Основные правила дифференцирования - №29 - открытая онлайн библиотека :

Основные правила дифференцирования - №30 - открытая онлайн библиотека

7. Пусть зависимость Основные правила дифференцирования - №31 - открытая онлайн библиотека от Основные правила дифференцирования - №32 - открытая онлайн библиотека не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных Основные правила дифференцирования - №33 - открытая онлайн библиотека и Основные правила дифференцирования - №34 - открытая онлайн библиотека от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой параметром): Основные правила дифференцирования - №35 - открытая онлайн библиотека

Предположим, что функция Основные правила дифференцирования - №36 - открытая онлайн библиотека имеет обратную функцию Основные правила дифференцирования - №37 - открытая онлайн библиотека . Тогда, очевидно, Основные правила дифференцирования - №38 - открытая онлайн библиотека является функцией от Основные правила дифференцирования - №39 - открытая онлайн библиотека : Основные правила дифференцирования - №40 - открытая онлайн библиотека .

Если функции Основные правила дифференцирования - №41 - открытая онлайн библиотека имеют производные, то и функция Основные правила дифференцирования - №42 - открытая онлайн библиотека имеет производную. Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции имеем Основные правила дифференцирования - №43 - открытая онлайн библиотека , где (согласно правилу дифференцирования обратной функции) Основные правила дифференцирования - №44 - открытая онлайн библиотека . Поэтому при Основные правила дифференцирования - №45 - открытая онлайн библиотека получаем окончательно

Основные правила дифференцирования - №46 - открытая онлайн библиотека

8. Пусть значения двух переменных Основные правила дифференцирования - №47 - открытая онлайн библиотека и Основные правила дифференцирования - №48 - открытая онлайн библиотека связаны между собой некоторым уравнением, которое символически обозначим так: Основные правила дифференцирования - №49 - открытая онлайн библиотека . Такое задание функции Основные правила дифференцирования - №50 - открытая онлайн библиотека от Основные правила дифференцирования - №51 - открытая онлайн библиотека называется неявным заданием. Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде Основные правила дифференцирования - №52 - открытая онлайн библиотека . Следует учесть, что если Основные правила дифференцирования - №53 - открытая онлайн библиотека аргумент функции, то Основные правила дифференцирования - №54 - открытая онлайн библиотека ; а если Основные правила дифференцирования - №55 - открытая онлайн библиотека не аргумент, а функция от Основные правила дифференцирования - №56 - открытая онлайн библиотека , то производная Основные правила дифференцирования - №57 - открытая онлайн библиотека равна не единице, а Основные правила дифференцирования - №58 - открытая онлайн библиотека .

Допустим, что функция задана уравнением Основные правила дифференцирования - №59 - открытая онлайн библиотека , то Основные правила дифференцирования - №60 - открытая онлайн библиотека , откуда Основные правила дифференцирования - №61 - открытая онлайн библиотека .

9. Сложной показательной функцией называется функция, у которой и основание и показатель степени являются функциями от Основные правила дифференцирования - №62 - открытая онлайн библиотека , например, Основные правила дифференцирования - №63 - открытая онлайн библиотека , вообще, всякая функция вида Основные правила дифференцирования - №64 - открытая онлайн библиотека . При определении производной таких функции применяется предварительное логарифмирование.

Основные правила дифференцирования - №65 - открытая онлайн библиотека

Зная, что Основные правила дифференцирования - №66 - открытая онлайн библиотека , получим Основные правила дифференцирования - №67 - открытая онлайн библиотека