Основные положения метода переменных состояния

Рассмотрим основные положения ме­тода переменных состояния и его применение для анализа САУ. С математической точки зрения это предполагает ис­пользование методов матричного исчисления и векторного анализа. Подход, основанный на поня­тии переменных состояния системы, особенно удобен для описания многосвязных или нестационарных линейных систем, а также нелинейных систем, исследование которых с помощью методов, базирующихся на использовании передаточных функций и частотных характеристик САУ, часто бывает затруднительным. Использование математического аппарата теории матриц и матрич­ных уравнений позволяет получить основные зависимости в компактном виде, удобном для исследования систем на ЦВМ.

Основное положение метода переменных состояния заключается в следующем. Для полного математического описания динамической системы Основные положения метода переменных состояния - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка необходимо ввести в рассмотрение Основные положения метода переменных состояния - №1 - открытая онлайн библиотека независимых переменных состояния системы Основные положения метода переменных состояния - №3 - открытая онлайн библиотека . Эти переменные должны быть выбраны так, чтобы, зная начальное состояние системы Основные положения метода переменных состояния - №4 - открытая онлайн библиотека в момент t = t0,можно было бы при известных на интервале t0 ≤ t ≤ t1входных воздействиях Основные положения метода переменных состояния - №5 - открытая онлайн библиотека , определить состояние Основные положения метода переменных состояния - №6 - открытая онлайн библиотека в момент времени Основные положения метода переменных состояния - №7 - открытая онлайн библиотека .

При описании системы в пространстве состояния целесообраз­но разделить все сигналы, характеризующие поведение системы, на три группы:

1) входные сигналы или входные воздействия Основные положения метода переменных состояния - №5 - открытая онлайн библиотека , приложенные к исследуемой системе со стороны других систем, Основные положения метода переменных состояния - №9 - открытая онлайн библиотека ;

2) выходные сигналы Основные положения метода переменных состояния - №10 - открытая онлайн библиотека , характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия, Основные положения метода переменных состояния - №11 - открытая онлайн библиотека ;

3) промежуточные переменные Основные положения метода переменных состояния - №3 - открытая онлайн библиотека , характеризующие внутреннее состояние системы, Основные положения метода переменных состояния - №13 - открытая онлайн библиотека .

Для удобства описания каждую группу переменных можно представить в виде вектора (матрицы-столбца):

Xвх(t) = Основные положения метода переменных состояния - №14 - открытая онлайн библиотека – вектор входных воздействий;

Xвых(t)= Основные положения метода переменных состояния - №15 - открытая онлайн библиотека – вектор выходных переменных системы;

X(t) = Основные положения метода переменных состояния - №16 - открытая онлайн библиотека – вектор переменных состояния системы.

Приведенная классификация сигналов в системе является в определенной степени условной, так, некоторые переменные состояния Основные положения метода переменных состояния - №3 - открытая онлайн библиотека могут совпадать с выходными сигналами Основные положения метода переменных состояния - №10 - открытая онлайн библиотека , но в общем случае между ними существует следующая зависимость:

Основные положения метода переменных состояния - №19 - открытая онлайн библиотека (6.1)

В пространстве состояния,осями координат которого являются переменные состояния, каждому моменту времени соответствует вектор X(t). Величина и положение этого вектора с течением времени изменяются, в результате чего конец вектора X(t) описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.

Динамика линейной стационарной САУ Основные положения метода переменных состояния - №1 - открытая онлайн библиотека -го порядка может быть описана системой Основные положения метода переменных состояния - №1 - открытая онлайн библиотека линейных дифференциальных уравнений:

Основные положения метода переменных состояния - №22 - открытая онлайн библиотека (6.2)

Систему уравнений (6.2) можно записать в виде сле­дующего матричного (векторного) дифференциального уравнения:

Основные положения метода переменных состояния - №23 - открытая онлайн библиотека , (6.3)

где А Основные положения метода переменных состояния - №24 - открытая онлайн библиотекаматрица системы (квадратная матрица размером Основные положения метода переменных состояния - №25 - открытая онлайн библиотека );

B Основные положения метода переменных состояния - №26 - открытая онлайн библиотекаматрица управленияразмером Основные положения метода переменных состояния - №27 - открытая онлайн библиотека .

В матричной форме система уравнений (6.1) примет вид:

Основные положения метода переменных состояния - №28 - открытая онлайн библиотека , (6.4)

где С Основные положения метода переменных состояния - №29 - открытая онлайн библиотекаматрица наблюдения размером Основные положения метода переменных состояния - №30 - открытая онлайн библиотека .

Основные положения метода переменных состояния - №31 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №32 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №33 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №34 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №35 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №36 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №37 - открытая онлайн библиотека
Основные положения метода переменных состояния - №38 - открытая онлайн библиотека
Рис. 6.1. Структурная схема САУ в векторной форме

Уравнения (6.3) и (6.4) называют уравнениями состояния системы.

Элементы матрицы системы Аопределяются структур­ной схемой системы и значениями ее параметров. Матри­ца управления В характеризует влияние входных сигналов на переменные состояния, а матрица наблюдения С определяет связь выходных сигналов системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т. е. они не могут быть измере­ны с помощью каких-либо датчиков, в то время как вы­ходные сигналы всегда наблюдаемы.

На рис. 6.1 показана структурная схема системы, соответствующая векторным урав­нениям (6.3) и (6.4); двойные линии на рисунке характеризуют векторный характер сигналов.

Согласно определению понятия состояния системы, в любой момент времени
t > t0 состояние системы является функцией начального состояния X(t0) и вектора входа Xвх(t0 , t), т.е.

X(t) = F[X(t0),Xвх(t0 , t)]. (6.5)

Вектор выхода в момент t также однозначно связан с векторами X(t0) и Xвх(t0 , t):

Xвых(t) = R[X(t0),Xвх(t0 , t)]. (6.6)

Приведенные векторные дифференциальные уравнения описывают линейные стационарные САУ. В нестационар­ных системах элементы матрицы в уравнениях (6.3) и (6.4) являются функциями времени, и векторные дифференциальные уравнения принимают вид:

Основные положения метода переменных состояния - №39 - открытая онлайн библиотека ; (6.7)

Основные положения метода переменных состояния - №40 - открытая онлайн библиотека . (6.8)