Основные методы нахождения определённого интеграла

Метод непосредственного интегрирования

Основные методы нахождения определённого интеграла - №1 - открытая онлайн библиотека

Метод подстановки

Основные методы нахождения определённого интеграла - №2 - открытая онлайн библиотека

Примечание: При вычислении интеграла методом постановки переходим к новым пределам интегрирования для переменной t.

Метод интегрирования по частям

Основные методы нахождения определённого интеграла - №3 - открытая онлайн библиотека

Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, уравнения которых заданы

Например: Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:

Основные методы нахождения определённого интеграла - №4 - открытая онлайн библиотека и Основные методы нахождения определённого интеграла - №5 - открытая онлайн библиотека .

Решение: Представим искомую площадь графически.

Искомая площадь площадь фигуры ОАСВ – заштрихована.

Основные методы нахождения определённого интеграла - №4 - открытая онлайн библиотека
Основные методы нахождения определённого интеграла - №5 - открытая онлайн библиотека
х
у
А
В
С
Д

Находим точки пересечения линий: Основные методы нахождения определённого интеграла - №8 - открытая онлайн библиотека , откуда x4 –x=0или х(х3 – 1)=0. Следовательно, абсциссы точек пересечений линий х1=0, х2=1, а сами точки пересечения имеют координаты (0,0) и (1,1).

В соответствии с геометрической интерпретацией определённого интеграла, определённый интеграл функции Основные методы нахождения определённого интеграла - №9 - открытая онлайн библиотека в пределах от х=х1 до х=х2, т.е. Основные методы нахождения определённого интеграла - №10 - открытая онлайн библиотека , численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции y=f(x), осью абсцисс и линиями x=x1 и x=x2. Искомая площадь SOACB равна разности площадей криволинейных трапеций:

Основные методы нахождения определённого интеграла - №11 - открытая онлайн библиотека .

Искомая площадь: Основные методы нахождения определённого интеграла - №12 - открытая онлайн библиотека (кв. ед).

Ответ: Искомая площадь равна Основные методы нахождения определённого интеграла - №13 - открытая онлайн библиотека (квадратных единиц).