Основные методы интегрирования

К наиболее важным методам интегрирования относятся:

1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции);

2) метод замены переменной;

3) метод интегрирования по частям.

Метод замены переменной (или метод подстановки)

Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема. Если F(x)- первообразная функции f(x), а Основные методы интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека - дифференцируемая функция, то функция Основные методы интегрирования - №2 - открытая онлайн библиотека также имеет первообразную, причем

Поскольку Основные методы интегрирования - №3 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №4 - открытая онлайн библиотека - формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Таким образом, метод замены переменной состоит в следующем:

Пусть требуется вычислить Основные методы интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека , причем непосредственно подобрать первообразную для функции Основные методы интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека нельзя, но известно, что она существует.

Введем в место х новую переменную t, положив Основные методы интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека ,

где Основные методы интегрирования - №8 - открытая онлайн библиотека -дифференцируемая функция.

Тогда Основные методы интегрирования - №9 - открытая онлайн библиотека

Допустим, что интеграл, стоящий в первой части равенства, легко находится:

Основные методы интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека

Итак, метод подстановок заключается в том, что в данном интеграле переменную х заменяют некоторой функцией Основные методы интегрирования - №11 - открытая онлайн библиотека от новой переменной t.

Это приводит к новому интегралу Основные методы интегрирования - №12 - открытая онлайн библиотека , более простому при удачном выборе функции Основные методы интегрирования - №13 - открытая онлайн библиотека .

После его вычисления в полученном результате заменяют «t» через «x».

Этим самым будет найден интеграл Основные методы интегрирования - №14 - открытая онлайн библиотека .

Пример6.6.13. Основные методы интегрирования - №15 - открытая онлайн библиотека

положим Основные методы интегрирования - №16 - открытая онлайн библиотека ,чтобы все корни извлекались Основные методы интегрирования - №17 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.6.14. Основные методы интегрирования - №18 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №19 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека .

Обязательно возвращаться к исходной переменной х.

При замене переменной очень часто удобно бывает задавать не х как функцию от t, а, наоборот, задавать t как функцию от x и писать подстановку в виде Основные методы интегрирования - №22 - открытая онлайн библиотека

Теоретически оба эти способа равнозначны.

Рассмотрим ряд примеров на применение подстановки Основные методы интегрирования - №23 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.6.15. Основные методы интегрирования - №24 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №25 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №26 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.6.16. Основные методы интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.6.17. Основные методы интегрирования - №28 - открытая онлайн библиотека .

В последних двух примерах иногда интегрирование целесообразно выполнять без формального введения новой переменной (новой буквы) – применить способ подведения под знак дифференциала.

Доказано, по определению дифференциала функции, Основные методы интегрирования - №29 - открытая онлайн библиотека .Переход в этом равенстве слева направо называют «подведением множителя Основные методы интегрирования - №30 - открытая онлайн библиотека под знак дифференциала».

Если под интегральное выражение может быть разбито на 2 множителя, один из которых есть дифференциал некоторой функции Основные методы интегрирования - №31 - открытая онлайн библиотека , а другой представляет собой легко интегрируемую функцию от t:

Основные методы интегрирования - №32 - открытая онлайн библиотека , то целесообразно подстановку Основные методы интегрирования - №31 - открытая онлайн библиотека производить устно, в уме, это освобождает от излишней записи и ускоряет операцию интегрирования.

Так, в рассмотренных выше примерах это будет выглядеть таким образом.

Пример6.6.18. Основные методы интегрирования - №34 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.6.19. Основные методы интегрирования - №35 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.6.20. Основные методы интегрирования - №36 - открытая онлайн библиотека .

Заметив, что Основные методы интегрирования - №37 - открытая онлайн библиотека подведем под знак дифференциала Основные методы интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека