Основные законы распределения случайных величин и их параметры

1. Закон распределения случайной величины устанавливает соотношение между возможными значениями случайной величины Х и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан в виде таблиц, формул, графически. Он дает полную информацию о свойствах случайной величины, позволяет оценить ее значение и определить вероятность нахождения ее значения в заданных границах.

Для дискретных и непрерывных случайных величин на практике часто применяют закон распределения в виде интегральной функции распределения F(x). Эта функция определяется вероятностью того, что случайная величина Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №1 - открытая онлайн библиотека в i опыте примет значение, меньшее некоторого значения х:

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №2 - открытая онлайн библиотека

Интегральная функция распределения имеет следующие свойства - она неотрицательная, т.е. F(x) > 0; неубывающая, т.е. F( Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №3 - открытая онлайн библиотека ) > F( Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №4 - открытая онлайн библиотека ), если Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №5 - открытая онлайн библиотека ; изменяется от 0 до 1, т.е. F(- Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №6 - открытая онлайн библиотека ) = 0, F(+ Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №6 - открытая онлайн библиотека ) = 1.

Для описания распределения непрерывных случайных величин часто пользуются первой производной функции распределения Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №8 - открытая онлайн библиотека , которую называют плотностью распределения. Это связано с тем, что производную функции распределения Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №9 - открытая онлайн библиотека статистически (экспериментально) значительно проще определить, чем саму функцию распределения.

Плотность вероятности р(х) (дифференциальная функция распределения) определяется как предел отношения вероятности того, что случайная величина Х примет значение внутри бесконечно малого промежутка от х до х + dx к величине этого промежутка dx, когда dx Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №10 - открытая онлайн библиотека 0:

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №11 - открытая онлайн библиотека

Функция распределения выражается через плотность вероятности:

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №12 - открытая онлайн библиотека

а) – интегральный; б) - дифференциальный

Рисунок - Законы распределения непрерывной случайной величины:

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №13 - открытая онлайн библиотека

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ( Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №14 - открытая онлайн библиотека ) определяется как

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №15 - открытая онлайн библиотека

Графически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми Х = Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №16 - открытая онлайн библиотека и Х = Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №17 - открытая онлайн библиотека (рисунок б).

2. Математическое ожидание случайной величины (ее среднее значение) определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность этих значений Р:

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №18 - открытая онлайн библиотека

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №19 - открытая онлайн библиотека

где Р(Х) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х.

3. Дисперсия случайной величины Х - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №20 - открытая онлайн библиотека

Для непрерывной случайной величины

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №21 - открытая онлайн библиотека

4. Среднеквадратичное отклонение случайной величины – корень квадратный из дисперсии:

Основные законы распределения случайных величин и их параметры - №22 - открытая онлайн библиотека