Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки

В задачах устойчивости стержней и пластин критические нагрузки пропорциональны изгибным жесткостям

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №1 - открытая онлайн библиотека

и не зависят от жесткостей на растяжение - сжатие.

При деформации же оболочек вследствие их кривизны удлинения и сдвиги срединной поверхности имеют тот же порядок, что и прогибы. Это влечет за собой не только зависимость Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №2 - открытая онлайн библиотека от жесткости срединной поверхности, приводящее к тому, что результат зачастую не может быть выражен формулой, но порождает также и качественно иную картину потери устойчивости.

Поскольку потеря устойчивости всегда сопряжена с изгибными деформациями, для ее исследования необходимо использовать соотношения моментной теории оболочек. Приведем упрощенные линейные соотношения для моментной цилиндрической оболочки.

Компоненты деформации срединной поверхности

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №3 - открытая онлайн библиотека (20.1)

Углы поворота нормали

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №4 - открытая онлайн библиотека . (20.2)

В предположении, что деформации срединной поверхности не влияют на ее кривизну

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №5 - открытая онлайн библиотека . (20.3)

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №6 - открытая онлайн библиотека

Погонные усилия и моменты, положительные направления которых показаны на рис.20.1, выражаются через соответствующие деформации формулами

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №7 - открытая онлайн библиотека (20.4)

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №8 - открытая онлайн библиотека (20.5)

Уравнения равновесия показанного на рис.20.1 элемента в недеформированном состоянии имеют вид

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №9 - открытая онлайн библиотека (20.6) Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №10 - открытая онлайн библиотека Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №11 - открытая онлайн библиотека (20.7)

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №12 - открытая онлайн библиотека (20.8)

После исключения Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №13 - открытая онлайн библиотека с помощью (20.8) уравнение (20.7) принимает вид

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №14 - открытая онлайн библиотека (20.9)

Таким образом, задача свелась к системе трех уравнений (20.6), (20.9). Ее можно решать в перемещениях, выражая Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №15 - открытая онлайн библиотека с помощью (20.1) - (20.5) через Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №16 - открытая онлайн библиотека . Однако удобнее перейти к смешанной форме.

Вводя аналогично плоской задаче функцию усилий Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №17 - открытая онлайн библиотека с помощью соотношений

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №18 - открытая онлайн библиотека (20.10)

мы тождественно выполняем уравнения (20.6), но при этом обязаны привлечь уравнение совместности деформаций, имеющее вид

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №19 - открытая онлайн библиотека .

В итоге задача сводится к системе не трех, а двух уравнений

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №20 - открытая онлайн библиотека (20.11)

Эту систему можно свести и к одному уравнению, исключив функцию Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №17 - открытая онлайн библиотека . Для этого необходимо второе уравнение дважды продифференцировать по Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №22 - открытая онлайн библиотека , а на первое подействовать оператором Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №23 - открытая онлайн библиотека . В итоге получим уравнение восьмого порядка

Основные зависимости для круговой цилиндрической оболочки - №24 - открытая онлайн библиотека (20.12)

Отметим, что такое сведение возможно лишь для упрощенных геометрических соотношений (20.2),(20.3) с отброшенными членами. В противном случае задачу следует решать в перемещениях.

Построив тем или иным способом решение системы (20.11) и подчинив его граничным условиям, мы найдем напряженно-деформированное состояние оболочки при сколь угодно большой нагрузке. Поскольку эти уравнения линейны, решение будет единственным.

Как известно, для решения задачи устойчивости таких уравнений недостаточно. Необходимо записать нелинейные уравнения равновесия оболочки в деформированном состоянии.