Основное уравнение теории надежности

Для неремонтируемых элементов (деталь, сборочная единица) и ре­монтируемых машин рассматривают отказы предельного состояния, которые выводят машины из эксплуатации. Предельное состояние ка­ждой детали, сборочной единицы, машины наступает через наработку t, величину которой принимают случайной из-за сложности или невоз­можности определения ее в аналитическом виде. Причины случайно­сти события «отказ» объясняются множеством факторов, учет которых в аналитической форме невозможен. Рассеяние ресурсов по критерию усталости (оцениваемое отношением наибольшего ресурса к наи­меньшему) для подшипников достигает 40, для зубчатых передач 10…15 Такое же рассеяние ресурсов по износу. Существенное рас­сеяние по величине и направлению имеют действующие нагрузки, механические характеристики материалов деталей, зазоры и натяги, которые при изготовлении получаются как разности сопрягаемых раз ­меров. Поэтому в расчетах надежности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами, которые могут принять то или иное значение, неизвестное заранее.

Для решения задач определения режима обслуживания и ремонта технических средств, расчета необходимого количества запасных де­талей и агрегатов требуется знание средней наработки и характери­стики группировки частных ресурсов около среднего. Обычно эта ин­формация представляется в виде закона распределения t наработок на предельное состояние (кратко - распределение отказов).

Закон распределения случайной величины t определяется плотно­стью вероятности появления отказов f(t), функцией вероятности отка­зов F(t), функцией вероятности отсутствия отказа P(t) или интенсивно­стью отказов λ(t). Каждая из перечисленных зависимостей однозначно определяет закон распределения.

На практике закон распределения случайной величины t получают экспериментально в процессе специальных опытов или путем сбора статистической информации при подконтрольной эксплуатации ма­шин. На базе этой информации строят графики вышеупомянутых функций (рис.26) и определяют их математическую модель.

Рассмотрим процесс формирования математических моделей за­конов распределения отказов. Для этого примем следующие обозна­чения:

N - общее количество технических средств, введенных в эксплуа­тацию на срок работы t;

Nt - количество технических средств, сохранивших работоспособ­ное состояние по истечении времени t;

n - количество технических средств, не сохранивших работоспособное состояние по истечении времени t.

Основное уравнение теории надежности - №1 - открытая онлайн библиотека

Рис.26. Законы распределения случайных величин

В таком случае относительное количество отказов, т.е. неработо­способных технических средств, к моменту t, или, что равно, вероят­ность отказов определится выражением

Основное уравнение теории надежности - №2 - открытая онлайн библиотека

Так как безотказная работа и отказ - взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна 1:

Основное уравнение теории надежности - №3 - открытая онлайн библиотека

Вероятность безотказной работы оценивается относительным ко­личеством работоспособных технических средств

Основное уравнение теории надежности - №4 - открытая онлайн библиотека

Распределение отказов во времени характеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа. В статистической трактовке

Основное уравнение теории надежности - №5 - открытая онлайн библиотека

где Δn и ΔF(t) - приращение числа отказавших технических средств и соответственно вероятности отказов за время Δt.

В вероятностной трактовке

Основное уравнение теории надежности - №6 - открытая онлайн библиотека

Вероятность отказов и безотказной работы в функции плотности f(t) выражаются зависимостями

Основное уравнение теории надежности - №7 - открытая онлайн библиотека при t=∞ Основное уравнение теории надежности - №8 - открытая онлайн библиотека

Основное уравнение теории надежности - №9 - открытая онлайн библиотека

Интенсивность отказов λ(t), в отличие от плотности распределе­ния, относится к числу технических средств Nt, оставшихся работоспо­собными, а не к общему числу технических средств.

Основное уравнение теории надежности - №10 - открытая онлайн библиотека

Или в вероятностной трактовке, учитывая, что Основное уравнение теории надежности - №11 - открытая онлайн библиотека

Основное уравнение теории надежности - №12 - открытая онлайн библиотека

Выразим плотность распределения отказов через вероятность безотказной работы

Основное уравнение теории надежности - №13 - открытая онлайн библиотека

Подставим это выражение в формулу определения интенсивности отказов

Основное уравнение теории надежности - №14 - открытая онлайн библиотека

Разделив переменные и решив интеграл, получим одно из основ­ных уравнений теории надежности

Основное уравнение теории надежности - №15 - открытая онлайн библиотека

Основное уравнение теории надежности - №16 - открытая онлайн библиотека

Основное уравнение теории надежности - №17 - открытая онлайн библиотека