Основное уравнение гидростатики

Гидромеханические процессы и аппараты

ГИДРОСТАТИКА

В гидростатике рассматриваются условия (законы) равновесия покоящейся жидкости. Поскольку жидкость находится в состоянии покоя, в ней не проявляются силы вязкого трения. В покоящейся жидкости действуют массовые и поверхностные силы.

В работе [1] из уравнения Навье – Стокса (как частный случай) было получено уравнение равновесия Эйлера:

Основное уравнение гидростатики - №1 - открытая онлайн библиотека (1.1)

Распишем это уравнение по осям в декартовой системе координат:

Основное уравнение гидростатики - №2 - открытая онлайн библиотека (1.2)

где X, Y, Z – проекции единичных массовых сил по осям x, y, z; Основное уравнение гидростатики - №3 - открытая онлайн библиотека , Основное уравнение гидростатики - №4 - открытая онлайн библиотека , Основное уравнение гидростатики - №5 - открытая онлайн библиотека – градиенты давлений по направлениям осей x, y, z.

Преобразуем систему уравнений (1.2). Для этого первое уравнение системы (1.2) умножим на dx, второе – на dy, третье – на dz и, сложив эти три уравнения, получим:

Основное уравнение гидростатики - №6 - открытая онлайн библиотека .

Правая часть полученного уравнения представляет собой полный дифференциал давления. Следовательно, можно записать:

Основное уравнение гидростатики - №7 - открытая онлайн библиотека . (1.3)

Полученное уравнение не содержит частных производных и более удобно для практического использования. Уравнение (1.3) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики. Так как dp является полным дифференциалом, а плотность жидкости r является постоянной величиной, то выражение в скобках правой части будет также полным дифференциалом некоторой функции координат dU (x, y, z). Эта функция является потенциалом сил. Таким образом, равновесие жидкости возможно, если массовые силы имеют потенциал.

Уравнение (1.3) дает закон распределения давления внутри жидкости при заданной системе сил.

Рассмотрим поверхность равного давления. Для этого случая Основное уравнение гидростатики - №8 - открытая онлайн библиотека , поскольку Основное уравнение гидростатики - №9 - открытая онлайн библиотека , тогда в качестве общего уравнения поверхности равного давления в декартовой системе координат получим:

Основное уравнение гидростатики - №10 - открытая онлайн библиотека . (1.4)

Некоторые свойства поверхности равного давления:

– две поверхности уровня не пересекаются (для одной поверхности Основное уравнение гидростатики - №11 - открытая онлайн библиотека , для другой – Основное уравнение гидростатики - №12 - открытая онлайн библиотека , в точке их пересечения было бы Основное уравнение гидростатики - №13 - открытая онлайн библиотека , а это не так);

– внешние массовые силы направлены нормально к поверхности уровня (доказательство от обратного).

Свободная поверхность – поверхность, граничащая с газовой средой – является одной из поверхностей равного давления. Поверхность равного давления относительно Земли представляет собой семейство горизонтальных плоскостей:

Основное уравнение гидростатики - №14 - открытая онлайн библиотека , т.е. Основное уравнение гидростатики - №15 - открытая онлайн библиотека . (1.5)

В этом случае из массовых сил действует только сила тяжести.

Основное уравнение гидростатики

Необходимо получить уравнение, определяющее давление в любой точке покоящейся жидкости (рис. 1.1).

Основное уравнение гидростатики - №16 - открытая онлайн библиотека

Рис. 1.1. Сосуд, заполненный жидкостью

Основное уравнение гидростатики можно получить разными способами:

– используя основное дифференциальное уравнение гидростатики (1.3):

Основное уравнение гидростатики - №17 - открытая онлайн библиотека .

В нашем случае действуют только силы тяжести. Поэтому Основное уравнение гидростатики - №18 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, имеем:

Основное уравнение гидростатики - №19 - открытая онлайн библиотека . (1.6)

Запишем граничное условие: при Основное уравнение гидростатики - №20 - открытая онлайн библиотека . Проинтегрировав уравнение (1.6), получим:

Основное уравнение гидростатики - №21 - открытая онлайн библиотека .

Константа интегрирования определяется из граничного условия Основное уравнение гидростатики - №22 - открытая онлайн библиотека . Итак, имеем:

Основное уравнение гидростатики - №23 - открытая онлайн библиотека .

Для точки А при Основное уравнение гидростатики - №24 - открытая онлайн библиотека получим:

Основное уравнение гидростатики - №25 - открытая онлайн библиотека . (1.7)

Полученное уравнение (1.7) называется основным уравнением гидростатики. Давление в точке определяется как сумма давлений
на свободной поверхности Основное уравнение гидростатики - №26 - открытая онлайн библиотека и давления, создаваемого столбом жидкости rgh. Величину rgh называют весовым давлением, иногда давление p – абсолютным давлением Основное уравнение гидростатики - №27 - открытая онлайн библиотека .

Как видно из формулы (1.7), давление с глубиной погружения Основное уравнение гидростатики - №28 - открытая онлайн библиотека меняется линейно. Величина Основное уравнение гидростатики - №26 - открытая онлайн библиотека является одинаковой для всей точек объема жидкости. Следовательно, давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково.