Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости

Жидкость будет находиться в состоянии равновесия, если каждый бесконечно малый ее элемент находится в равновесии под действием всей совокупности приложенных к этому элементу сил.

В неподвижной жидкости выбираем систему координат Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №1 - открытая онлайн библиотека , в которой рассмотрим элементарный объем жидкости в виде параллелепипеда, грани которого параллельны координатным осям (рис.3.2)

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №2 - открытая онлайн библиотека

Рис. 3.2 Схема к выводу уравнения Эйлера

По принципу Даламбера тело находится в состоянии равновесия, если сумма проекций всех сил на координатные оси равнялась нулю:

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №3 - открытая онлайн библиотека (3.5)

В общем случае рассматриваемый нами элемент жидкости находится в равновесии под действием массовых и поверхностных сил. Величина массовых сил Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №4 - открытая онлайн библиотека пропорциональна массе жидкости Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №5 - открытая онлайн библиотека , заключенной в рассматриваемом объеме Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №6 - открытая онлайн библиотека . Масса жидкости с учетом ее плотности Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №7 - открытая онлайн библиотека определяется в виде:

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №8 - открытая онлайн библиотека(3.6)

где Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №9 - открытая онлайн библиотека - значения длин ребер прямоугольного параллелепипеда.

Поверхностные силы всегда направлены по нормалям к соответствующим граням рассматриваемого параллелепипеда. Давления, действующие вдоль оси Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №10 - открытая онлайн библиотека :

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №11 - открытая онлайн библиотека и Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №12 - открытая онлайн библиотека

Составим уравнение равновесия сил вдоль оси Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №10 - открытая онлайн библиотека :

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №14 - открытая онлайн библиотека (3.7)

Раскроем скобки и преобразуем.

Разделим все на Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №7 - открытая онлайн библиотека , получаем выражение:

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №16 - открытая онлайн библиотека

Аналогично на остальные оси.

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №17 - открытая онлайн библиотека (3.8)

Уравнение (3.8) называют дифференциальным уравнением идеальной, покоящейся жидкости в форме Эйлера.

Данное уравнение можно преобразовать, для чего умножим первое на Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №18 - открытая онлайн библиотека , второе на Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №19 - открытая онлайн библиотека , третье на Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №20 - открытая онлайн библиотека .

Данные уравнения сложим и сгруппируем:

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №21 - открытая онлайн библиотека (3.9)

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №22 - открытая онлайн библиотека

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №23 - открытая онлайн библиотека (3.10)

Уравнение (3.10) называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. Пусть из массовых сил на данный объем жидкости в форме параллелепипеда действует только сила тяжести. Запишем уравнение Эйлера (3.10)

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №23 - открытая онлайн библиотека ;

Сила тяжести направлена по нормали к осям Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №25 - открытая онлайн библиотека и в обратную сторону оси Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №26 - открытая онлайн библиотека .

Получим основное уравнение статики

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №27 - открытая онлайн библиотека (3.12)

После интегрирования

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №28 - открытая онлайн библиотека , Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №29 - открытая онлайн библиотека (3.13)

где Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №30 - открытая онлайн библиотека - постоянная интегрирования.

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №31 - открытая онлайн библиотека (3.14)

где Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №32 - открытая онлайн библиотека - потенциальная энергия единицы объема жидкости;

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №33 - открытая онлайн библиотека = Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкости - №34 - открытая онлайн библиотека - потенциальная энергия положения единицы объема жидкости.