Ортогональные на промежутке системы функций

Если Ортогональные на промежутке системы функций - №1 - открытая онлайн библиотека , при m<>n,

То Ортогональные на промежутке системы функций - №2 - открытая онлайн библиотека - система ф-ий, ортогональных (1) на [a,b]

Ортогональные на промежутке системы функций - №3 - открытая онлайн библиотека - норма ф-ий Ортогональные на промежутке системы функций - №4 - открытая онлайн библиотека на [a,b]

Если нормы всех ф-ий системы (1) равны единицы, то это система называется ортонормированной.

Для ортонормированных систем

Ортогональные на промежутке системы функций - №5 - открытая онлайн библиотека

Чтобы любую систему, не содержащую функцийй с нулевой нормой, пронормировать, необходимо каждую функцию разделить на ее норму:

Ортогональные на промежутке системы функций - №6 - открытая онлайн библиотека

Если система ф-ий Ортогональные на промежутке системы функций - №7 - открытая онлайн библиотека ортогональна на отрезке [a,b], то коэффициенты Ортогональные на промежутке системы функций - №8 - открытая онлайн библиотека обобщенного полинома Ортогональные на промежутке системы функций - №9 - открытая онлайн библиотека

Ортогональные на промежутке системы функций - №10 - открытая онлайн библиотека , аппроксимирующего непрерывную ф-ию f(x)на [a,b]

Имеют вид:

Ортогональные на промежутке системы функций - №11 - открытая онлайн библиотека

Ортогональные на промежутке системы функций - №12 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №12 - открытая онлайн библиотека (2)
Ортогональные на промежутке системы функций - №14 - открытая онлайн библиотека -коэфф. Фурье ф-ии f(x) относительно заданной ортогональной системы Ортогональные на промежутке системы функций - №7 - открытая онлайн библиотека .

Обобщенный полином с коэффициентом Фурье данной ф-ии обладает наименьшим квадратичным отклонением от этой ф-ии по сравнению со всеми другими обобщенными полиномами того же порядка m.

Ортогональные на промежутке системы функций - №16 - открытая онлайн библиотека (3)

После преобразований (раскрывая скобки, меняя местами Ортогональные на промежутке системы функций - №17 - открытая онлайн библиотека и Ортогональные на промежутке системы функций - №18 - открытая онлайн библиотека и приводя подобные члены) получим(без вывода):

Ортогональные на промежутке системы функций - №19 - открытая онлайн библиотека (4)

Ортогональные на промежутке системы функций - №20 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №21 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №22 - открытая онлайн библиотека (5) Ортогональные на промежутке системы функций - №23 - открытая онлайн библиотека

Из (3) следует, что Ортогональные на промежутке системы функций - №24 - открытая онлайн библиотека , потому из (5) получаем:

Ортогональные на промежутке системы функций - №25 - открытая онлайн библиотека (6) –неравенство Бесселя

Ортогональные на промежутке системы функций - №26 - открытая онлайн библиотека При m ∞

Ортогональные на промежутке системы функций - №27 - открытая онлайн библиотека

(7)

Если система Ортогональные на промежутке системы функций - №7 - открытая онлайн библиотека -ортонормированная, то Ортогональные на промежутке системы функций - №29 - открытая онлайн библиотека (8)

Если Ортогональные на промежутке системы функций - №30 - открытая онлайн библиотека , то система Ортогональные на промежутке системы функций - №7 - открытая онлайн библиотека наз. ПОЛНОЙ.

Для полной ортонормированной системы имеет место равенство Парсеваля

Ортогональные на промежутке системы функций - №32 - открытая онлайн библиотека (9)

Свойства обобщенного полинома Ортогональные на промежутке системы функций - №33 - открытая онлайн библиотека с коэффициентами Фурье:

1. при увеличении числа слагаемых m младшие коэффициенты Ортогональные на промежутке системы функций - №14 - открытая онлайн библиотека остаются неизменными, т.е. при добавлении новых членов прежние коэффициенты не пересчитываются (это следует (2)).

2. при увеличении m квадратичная погрешность Ортогональные на промежутке системы функций - №35 - открытая онлайн библиотека монотонно убывает в широком смысле, т.е. Ортогональные на промежутке системы функций - №36 - открытая онлайн библиотека Т.о. присоединение новых слагаемых увеличивает точность аппроксимации.

4.2.Основные понятия гармонического анализа.

Тригонометрическая система функций:

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,…, sin nx, cos nx (1)

ортогональна на любом отрезке длины 2π (напрмер, на [-π, π]).

Нормы функций системы (1)

Ортогональные на промежутке системы функций - №37 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №38 - открытая онлайн библиотека

Ортогональные на промежутке системы функций - №39 - открытая онлайн библиотека n=1,2…. (2)

Пусть дана непрерывная периодическая функция с периодом 2π (введением новой переменной можно область определения функции [a, b] перевести в интервал [-π,π])

Составим тригонометрический полином

Ортогональные на промежутке системы функций - №40 - открытая онлайн библиотека (3)

Слагаемые Ортогональные на промежутке системы функций - №41 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №42 - открытая онлайн библиотека k=1,2…, называются гармонитами.

Чтобы минимизировать

Ортогональные на промежутке системы функций - №43 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №44 - открытая онлайн библиотека min

Коэффициенты Ортогональные на промежутке системы функций - №45 - открытая онлайн библиотека , Ортогональные на промежутке системы функций - №46 - открытая онлайн библиотека , Ортогональные на промежутке системы функций - №47 - открытая онлайн библиотека должны быть коэффициентами Фурье функции f(х) относительно системы (1)

т.е. Ортогональные на промежутке системы функций - №48 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №49 - открытая онлайн библиотека

Т.о. получаем:

Ортогональные на промежутке системы функций - №50 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №51 - открытая онлайн библиотека (4)

(k=0,1,2,…m)

Полином (3) – тригонометрический полином Фурье;

Ортогональные на промежутке системы функций - №46 - открытая онлайн библиотека , Ортогональные на промежутке системы функций - №47 - открытая онлайн библиотека - тригонометрические коэффициенты Фурье функции f(х).

Если f(х) четная, то

Ортогональные на промежутке системы функций - №54 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №55 - открытая онлайн библиотека (k=1,2,…,m)

Ортогональные на промежутке системы функций - №56 - открытая онлайн библиотека k=0,1,2…m (5)

Если f(х) нечетная, то

Ортогональные на промежутке системы функций - №54 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №58 - открытая онлайн библиотека (k=0,1,2,…,m)

Ортогональные на промежутке системы функций - №59 - открытая онлайн библиотека (k=1,2,…,m) (6)

Для четной функции

Ортогональные на промежутке системы функций - №60 - открытая онлайн библиотека

-

Ортогональные на промежутке системы функций - №61 - открытая онлайн библиотека

При m→∞ получаем тригонометрический ряд Фурье

Ортогональные на промежутке системы функций - №62 - открытая онлайн библиотека

Ортогональные на промежутке системы функций - №12 - открытая онлайн библиотека Ортогональные на промежутке системы функций - №12 - открытая онлайн библиотека Представленные функции тригонометрическим полиномом Фурье или тригонометрическим рядом Фурье называется гармоническим анализом.

В простейших случаях коэффициенты тригонометрического полинома Фурье вычисляются непосредственно по формулам (4)

Среднеквадратическое отклонение Ортогональные на промежутке системы функций - №65 - открытая онлайн библиотека определено как

Ортогональные на промежутке системы функций - №66 - открытая онлайн библиотека ,

в общем случае функция Ортогональные на промежутке системы функций - №67 - открытая онлайн библиотека задана на интервале Ортогональные на промежутке системы функций - №68 - открытая онлайн библиотека .