Временные характеристики

Другой важной характеристикой автоматических систем (звеньев) являются переходные и импульсные переходные функции и их графики - временные характеристики. Их используют при описании линейных систем, как стационарных, так и нестационарных.

Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию обычно обозначают h(t). Иначе, переходная функция h(t) есть функция, описывающая реакцию системы (звена) на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно описать единичной функцией

Временные характеристики - №1 - открытая онлайн библиотека .

График переходной функции - кривая зависимости функции h{t) от времени t - называют переходной или разгонной характеристикой.

Импульсной переходной, или весовой, функцией (функцией веса) системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию Системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию через Временные характеристики - №2 - открытая онлайн библиотека . График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой.

Переходную и импульсную переходную характеристику называют временными характеристиками.

При определении весовой функции было использовано понятие единичного импульса. Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается функцией Временные характеристики - №3 - открытая онлайн библиотека , которую называют дельта-функцией. Производная от единичной функции равна дельта-функции. Обладает производными любого порядка и сама дельта-функция.

Перейдем к определению дельта-функции и ее производных. При этом воспользуемся тем обстоятельством, что при решении каких-либо практических задач, как правило, дельта-функция и ее производные встречаются только на промежуточных этапах. В окончательном результате они или вовсе отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо “обычной” функцией. Поэтому нет прямой необходимости отвечать на вопрос, что такое дельта-функция сама по себе, а достаточно ответить на вопрос, что означает интеграл от произведения дельта-функции или какой-либо ее производной и обычной функции. Руководствуясь приведенными соображениями, дельта-функцию можно определить так: дельта-функция„ есть функция, которая обладает следующими свойствами:

Временные характеристики - №4 - открытая онлайн библиотека , (1)

Временные характеристики - №5 - открытая онлайн библиотека . (2)

Производные от дельта-функции можно определить по следующим соотношениям:

Временные характеристики - №6 - открытая онлайн библиотека , (3)

Временные характеристики - №7 - открытая онлайн библиотека , (4)

где e - произвольное положительное число; Временные характеристики - №8 - открытая онлайн библиотека - обычная функция, обладающая т-й производной, Временные характеристики - №9 - открытая онлайн библиотека - т-я производная по времени от дельта-функции.

Найдем изображение Лапласа от дельта-функции и ее производных.

Временные характеристики - №10 - открытая онлайн библиотека , Временные характеристики - №11 - открытая онлайн библиотека ,..., Временные характеристики - №12 - открытая онлайн библиотека (5)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнением постоянными коэффициентами в общем виде

Временные характеристики - №13 - открытая онлайн библиотека (6)

В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид

Временные характеристики - №14 - открытая онлайн библиотека (7)

где передаточная функция Временные характеристики - №15 - открытая онлайн библиотека . Как легко проверить, используя формулы (5), уравнение (7) справедливо и в тех случаях, когда Временные характеристики - №16 - открытая онлайн библиотека или Временные характеристики - №17 - открытая онлайн библиотека .

В соответствии с определением весовой функции при Временные характеристики - №17 - открытая онлайн библиотека переменная Временные характеристики - №19 - открытая онлайн библиотека . И так как Временные характеристики - №10 - открытая онлайн библиотека , то при этом (7) можно записать

Временные характеристики - №21 - открытая онлайн библиотека . (8)

Таким образом, весовая функция равна

Временные характеристики - №22 - открытая онлайн библиотека (9)

Установим связь между весовой и переходной функциями. Так как Временные характеристики - №23 - открытая онлайн библиотека , то уравнение (8) при Временные характеристики - №16 - открытая онлайн библиотека принимает вид

Временные характеристики - №25 - открытая онлайн библиотека (10)

Сравнив эту формулу с (9), нетрудно заметить, что Временные характеристики - №26 - открытая онлайн библиотека . Так как при нулевых начальных условиях умножению изображения на Временные характеристики - №27 - открытая онлайн библиотека соответствует дифференцирование оригинала, то из последнего равенства получаем Временные характеристики - №28 - открытая онлайн библиотека .

Весовая и переходная функции, как и передаточная функция, являются исчерпывающими характеристиками системы (звена) при нулевых начальных условиях. По ним можно однозначно определить выходную величину при произвольном входном воздействии.