Волновое уравнение

Одним из наиболее распространенных в ин­женерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания - процесс нестационарный, то одной из независи­мых переменных является время t. Кроме того, независимыми перемен­ными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трех­мерное волновые уравнения.

Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания стерж­ня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движе­ния, а также поперечные колебания тонкого стержня и другие задачи. Двумерное волновое уравнениеиспользуется для исследования колебаний тонкой пластины. Трехмерное волновое уравнениеописывает распространение волн в пространстве.

Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде

Волновое уравнение - №1 - открытая онлайн библиотека

Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x,t) описывает положение струны в момент t. В этом случае Волновое уравнение - №2 - открытая онлайн библиотека , где Т - натя­жение струны, Волновое уравнение - №3 - открытая онлайн библиотека - ее линейная плотность. Уравнение записано для случая свободных колебаний. Сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.

Волновое уравнение - №4 - открытая онлайн библиотека

Решим задачу Коши для этого уравнения. Вот условия задачи:

Волновое уравнение - №5 - открытая онлайн библиотека

Эти условия описывают начальную форму струны Волновое уравнение - №6 - открытая онлайн библиотека и скорость ее точек.

На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой дли­ны Волновое уравнение - №7 - открытая онлайн библиотека . В этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закрепленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид

Волновое уравнение - №8 - открытая онлайн библиотека

Для решения такой задачи используем явную трехслойную схему типа крест. Заменим в начальном уравнении вторые производные искомой функции U по t и х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции Волновое уравнение - №9 - открытая онлайн библиотека в узлах сетки Волновое уравнение - №10 - открытая онлайн библиотека

Волновое уравнение - №11 - открытая онлайн библиотека

Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (j + 1)-м слое:

Волновое уравнение - №12 - открытая онлайн библиотека

Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-м слое нужно знать решения на j-м и (j - 1)-м слоях. Поэтому начать счет можно лишь для второ­го слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Они находятся с помощью начальных условий. На нулевом слое имеем

Волновое уравнение - №13 - открытая онлайн библиотека

Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым началь­ным условием. Производную Волновое уравнение - №14 - открытая онлайн библиотека заменим конечно-разностной аппроксимацией.

Волновое уравнение - №15 - открытая онлайн библиотека

Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на пер­вом временном слое:

Волновое уравнение - №16 - открытая онлайн библиотека

Отметим, что аппроксимация начального условия в таком виде ухуд­шает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка Волновое уравнение - №17 - открытая онлайн библиотека ,т. е. первого порядка по Волновое уравнение - №18 - открытая онлайн библиотека , хотя сама схема имеет второй порядок аппроксимации по h и Волновое уравнение - №18 - открытая онлайн библиотека . Положение можно исправить, если взять более точное представление

Волновое уравнение - №20 - открытая онлайн библиотека

Так как,

Волновое уравнение - №21 - открытая онлайн библиотека

то:

Волновое уравнение - №22 - открытая онлайн библиотека

Теперь разностная схема обладает погрешностью аппрок­симации порядка Волновое уравнение - №23 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотренная разностная схема решения задачи условно устойчива. Необхо­димое и достаточное условие устой­чивости имеет вид

Волновое уравнение - №24 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, при выполнении этого условия и с учетом аппрокси­мации схема сходится к исход­ной задаче со скоростью Волновое уравнение - №23 - открытая онлайн библиотека .

Уравнение Лапласа.

Многие стационарные физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стаци­онарных случаях и др.) сводятся к решению уравнения Пуассонавида

Волновое уравнение - №26 - открытая онлайн библиотека

При F(x, у, z) = 0, уравнение Пуассона называют уравнением Лапла­са.Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа

Волновое уравнение - №27 - открытая онлайн библиотека

Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной об­ласти G изменения независимых переменных х, у. Границей области G является замкнутая линия L. Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границе L.Примем его в виде

Волновое уравнение - №28 - открытая онлайн библиотека

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле.

Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том числе и краевой задачи, является их сведение к реше­нию некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях времени t близко к решению исходной задачи. Такой способ решения называется методом установления.

Поскольку решение U(x,y) уравнения Лапласа не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член Волновое уравнение - №14 - открытая онлайн библиотека . Тогда уравнение примет вид

Волновое уравнение - №30 - открытая онлайн библиотека

Это - известное нам уравнение теплопроводности, для которого мы уже строили разностные схемы. Остается только задать на­чальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Положим

Волновое уравнение - №31 - открытая онлайн библиотека

Граничное условие при этом остается стационарным, т. е. не зави­сящим от времени.

Волновое уравнение - №32 - открытая онлайн библиотека Процесс численного решения такого уравнения Волновое уравнение - №33 - открытая онлайн библиотека состоит в переходе при Волновое уравнение - №34 - открытая онлайн библиотека от произвольного значения к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, ограничиваются решением при некотором достаточно большом t, если искомые значения на двух после­довательных слоях совпадают с заданной степенью точности.

Метод установления фактически представляет итерационный процесс, причем на каждой итера­ции значения искомой функции получаются путем численного решения

некоторой вспомогательной задачи. В тео­рии разностных схем показано, что этот ите­рационный процесс сходится к решению исходной задачи, если такое стационарное решение существует.

Другой способ решения задачи Дирихле состоит в построении разностной схемы путем аппроксимации уравнения Лапласа. Вве­дем в прямоугольной области G сетку с по­мощью координатных прямых х = const и у = const. Примем, для простоты значения шагов по переменным, х и у равными h (пред­полагается, что стороны области G соизме­римы). Значения функции U в узлах Волновое уравнение - №35 - открытая онлайн библиотека заменим значениями сеточной функции Волновое уравнение - №36 - открытая онлайн библиотека Тогда, аппроксимируя в урав­нении Лапласа вторые производные с помощью отношений конечных раз­ностей, получим разностное уравнение.

Волновое уравнение - №37 - открытая онлайн библиотека

С помощью данного уравнения можно записать систему линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах в виде

Волновое уравнение - №38 - открытая онлайн библиотека

Значения сеточной функции в узлах, расположенных на границе рас­четной области, могут быть найдены из граничного условия:

Волновое уравнение - №39 - открытая онлайн библиотека

Перейдем теперь к решению полученной системы. Каждое уравнение системы (за исключе­нием тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных мето­дов решения этой системы линейных уравнений является итерационный метод. Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относи­тельно значения Волновое уравнение - №36 - открытая онлайн библиотека в центральном узле:

Волновое уравнение - №41 - открытая онлайн библиотека

В ряде случаев уравнение с частными производными удобно привести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых оставлены производ­ные искомой функции лишь по одной пере­менной.

Такой способ можно использовать и для решения уравнения Лапласа. Пусть требуется решить для него задачу Дирихле в прямоугольнике ABCD. Разо­бьем прямоугольник на полосы с помощью прямых, параллельных Волновое уравнение - №42 - открытая онлайн библиотека оси х. Для определенности проведем три отрезка Волновое уравнение - №43 - открытая онлайн библиотека , которые разделят прямоугольник на четыре полосы постоянной ширины h. Решение U задачи Дирихле приближенно заменим набором функций Волновое уравнение - №44 - открытая онлайн библиотека ,каждая из которых определена на отрезке U и зависит только от одной переменной х, т. е. Волновое уравнение - №44 - открытая онлайн библиотека = Волновое уравнение - №46 - открытая онлайн библиотека для Волновое уравнение - №47 - открытая онлайн библиотека =1,2,3. На отрезках Волновое уравнение - №48 - открытая онлайн библиотека значения Волновое уравнение - №33 - открытая онлайн библиотека заданы граничными условиями.

Построим разностную схему, для определения значений функций Волновое уравнение - №46 - открытая онлайн библиотека . Аппроксимируя в уравнении вторую производную по у,с помощью отношения конечных разностей, получаем

Волновое уравнение - №51 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, решение задачи Дирихле сводятся к ре­шению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно значений искомой функции вдоль пря­мых Волновое уравнение - №43 - открытая онлайн библиотека . В этом состоит метод прямых. Граничные условия при х=а, х = b можно получить из уравнений

Волновое уравнение - №53 - открытая онлайн библиотека

Метод прямых широко, используется для решения нестационарных задач. Например, если имеются две независимые переменные х, t, а ис­комый параметр является гладкой функцией переменной х, то дискре­тизация вводится по этой переменной. Тогда исходная задача заменяется задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Волновое уравнение - №54 - открытая онлайн библиотека