Возведение комплексных чисел в натуральную степень

Пусть задано комплексное число Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №1 - открытая онлайн библиотека в тригонометрической форме. Какое получится число при возведении его в квадрат? Так как при комплексных чисел модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются, то при возведении в квадрат модуль комплексного числа возводится в квадрат, а аргумент умножается на 2.

При возведении комплексного числа в Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -ю степень, а аргумент умножается на Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека . Итак, справедлива формула Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №5 - открытая онлайн библиотека . Это выражение называется формулой Муавра.

8. Извлечение корня Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -й степени из комплексных чисел

Пусть задано комплексное число Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №1 - открытая онлайн библиотека в тригонометрической форме. Какое число при возведении его в Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -ю степень даст нам число, модуль которого равен Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №9 - открытая онлайн библиотека , а аргумент равен Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №10 - открытая онлайн библиотека ? Так как возведении комплексного числа в Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -ю степень модуль этого комплексного числа возводится в Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -ю степень, а аргумент умножается на Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека , то, очевидно, комплексное число с модулем, равным Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №14 - открытая онлайн библиотека и аргументом, равным Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №15 - открытая онлайн библиотека , обладает требуемым свойством. Обратим внимание на то, что при изменении аргумента на значение, равное Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №16 - открытая онлайн библиотека , после возведения в Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -ю степень комплексное число изменяет значение аргумента на Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №18 - открытая онлайн библиотека , т.е. на Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №19 - открытая онлайн библиотека . А это означает, что таким образом измененное комплексное число также является корнем Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека -й степени из заданного числа Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №1 - открытая онлайн библиотека .

Тем самым мы приходим к формуле Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №22 - открытая онлайн библиотека , где Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №23 - открытая онлайн библиотека .

Итак, Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №24 - открытая онлайн библиотека является величиной, принимающей Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №2 - открытая онлайн библиотека различных значений при Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №26 - открытая онлайн библиотека . Заметим, что все эти значения корня лежат на окружности радиуса Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №14 - открытая онлайн библиотека через равные значения аргумента Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №16 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №29 - открытая онлайн библиотека , где Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №30 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №31 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №32 - открытая онлайн библиотека .

Решение. План действий следующий. Мы найдем модуль и аргумент чисел Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №33 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №34 - открытая онлайн библиотека Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №35 - открытая онлайн библиотека . Затем мы найдем искомый модуль числа, учитывая, что при возведении в степень модуль возводится в эту же степень, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, при делении – соответствующие модули делятся. После этого мы займемся аргументами чисел Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №33 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №34 - открытая онлайн библиотека Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №35 - открытая онлайн библиотека и, учитывая соответствующие правила для аргументов, найдем искомый аргумент.

Рассмотрим число Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №30 - открытая онлайн библиотека и вычислим его модуль Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №40 - открытая онлайн библиотека . Найдем тангенс аргумента этого числа Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №41 - открытая онлайн библиотека . Так как Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №30 - открытая онлайн библиотека находится в 4-й четверти, то главное значение его аргумента Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №43 - открытая онлайн библиотека равно Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №44 - открытая онлайн библиотека . Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №45 - открытая онлайн библиотека
Рассмотрим теперь число Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №31 - открытая онлайн библиотека и вычислим его модуль Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №47 - открытая онлайн библиотека . Найдем тангенс аргумента этого числа Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №48 - открытая онлайн библиотека . Так как точка Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №31 - открытая онлайн библиотека находится в 3-й четверти, то главное значение его аргумента Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №50 - открытая онлайн библиотека равно Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №51 - открытая онлайн библиотека . Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №52 - открытая онлайн библиотека

Обратите внимание, что если Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №43 - открытая онлайн библиотека равно Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №54 - открытая онлайн библиотека , то Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №50 - открытая онлайн библиотека равно Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №56 - открытая онлайн библиотека . Добавочное слагаемое Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №57 - открытая онлайн библиотека не меняет тангенса аргумента. Оно связано с необходимостью «попасть» в нужную четверть.

У числа Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №32 - открытая онлайн библиотека найдем модуль Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №59 - открытая онлайн библиотека . Тангенс аргумента здесь равен Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №60 - открытая онлайн библиотека . Соответственно лавное значение его аргумента Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №61 - открытая онлайн библиотека равно Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №62 - открытая онлайн библиотека . Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №63 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №64 - открытая онлайн библиотека , т.е. модуль и аргумент этого числа равны 1 и Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №65 - открытая онлайн библиотека . Теперь найдем Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №66 - открытая онлайн библиотека - искомый модуль комплексного числа и одно из значений аргумента Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №67 - открытая онлайн библиотека , равное Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №68 - открытая онлайн библиотека . Отсюда главное значение аргумента равно Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №69 - открытая онлайн библиотека .

Ответ. Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №70 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №71 - открытая онлайн библиотека

Пример 3. Найдите Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №72 - открытая онлайн библиотека . Решение. На рисунке отмечены 3 точки, которые являются корнями 3-й степени из числа 8. Эти 3 точки находятся на окружности радиуса 2 и имеют аргументы 0, Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №73 - открытая онлайн библиотека и Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №74 - открытая онлайн библиотека . Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №75 - открытая онлайн библиотека

Итак, Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №76 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №77 - открытая онлайн библиотека , Возведение комплексных чисел в натуральную степень - №78 - открытая онлайн библиотека .