Влияние способов закрепления концов стержня

На рис. 8.3 показаны формы потери устойчивости стержней длиной Влияние способов закрепления концов стержня - №1 - открытая онлайн библиотека с различными случаями закрепления концов. Случай б) нами рассмотрен при выводе формулы Эйлера. Этот случай называют основным случаем закрепления.

Для других случаев закрепления можно повторить все выкладки, изменяя в каждом случае только граничные условия и получить соответствующие значения Влияние способов закрепления концов стержня - №2 - открытая онлайн библиотека . Однако можно пойти другим путем.

Влияние способов закрепления концов стержня - №3 - открытая онлайн библиотека

Рис.8.3

Сравнивая рис. а) и б) видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится в тех же условиях, что и верхняя часть стержня длиной Влияние способов закрепления концов стержня - №4 - открытая онлайн библиотека с шарнирными концами. Следовательно, Влияние способов закрепления концов стержня - №2 - открытая онлайн библиотека для стойки длиной Влияние способов закрепления концов стержня - №1 - открытая онлайн библиотека с одним защемленным концом будет та же, что для стойки длиной Влияние способов закрепления концов стержня - №4 - открытая онлайн библиотека с шарнирными концами. Поэтому, подставляя Влияние способов закрепления концов стержня - №4 - открытая онлайн библиотека вместо Влияние способов закрепления концов стержня - №1 - открытая онлайн библиотека в формулу Эйлера найдем:

Влияние способов закрепления концов стержня - №10 - открытая онлайн библиотека – Эйлерова сила для стержня с

одним защемленным концом.

На рис. г) показана потеря устойчивости стержня с двумя защемленными концами. Видно, что она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси (в которых, как известно, изгибающие моменты равны нулю) расположены на четвертях длины стержня. Следовательно, здесь средняя часть стержня длиной Влияние способов закрепления концов стержня - №11 - открытая онлайн библиотека находится в тех же условиях, что и шарнирно закрепленный по концам стержень. Поэтому, подставляя здесь Влияние способов закрепления концов стержня - №11 - открытая онлайн библиотека вместо Влияние способов закрепления концов стержня - №1 - открытая онлайн библиотека в формулу Эйлера найдем

Влияние способов закрепления концов стержня - №14 - открытая онлайн библиотека –Эйлерова сила для стержня с двумя

защемленными концами

Полученные формулы Эйлера при различных закреплениях концов стержня можно записать в общем виде:

Влияние способов закрепления концов стержня - №15 - открытая онлайн библиотека (8.7)

Здесь Влияние способов закрепления концов стержня - №16 - открытая онлайн библиотека коэффициент приведения длины.

Влияние способов закрепления концов стержня - №17 - открытая онлайн библиотека приведенная длина стержня.

Для основных случаев закрепления стержней, показанных на рис. 8.3 коэффициент Влияние способов закрепления концов стержня - №18 - открытая онлайн библиотека имеет следующие значения:

а) один конец защемлен, другой свободный Влияние способов закрепления концов стержня - №19 - открытая онлайн библиотека ;

б) с шарнирными концами Влияние способов закрепления концов стержня - №20 - открытая онлайн библиотека ;

в) один конец защемлен, другой шарнирный Влияние способов закрепления концов стержня - №21 - открытая онлайн библиотека ;

г) с двумя заделанными концами Влияние способов закрепления концов стержня - №22 - открытая онлайн библиотека .

Зная критическую силу, можно найти критическое напряжение, поделив силу на площадь. Так как на деформации стержня местные ослабления площади сечения (отверстиями) сказываются мало, то при расчетах на устойчивость принято использовать полную площадь сечения. Следовательно, в формуле Эйлера Влияние способов закрепления концов стержня - №23 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Влияние способов закрепления концов стержня - №24 - открытая онлайн библиотека

Окончательно

Влияние способов закрепления концов стержня - №25 - открытая онлайн библиотека (8.8)

Здесь

Влияние способов закрепления концов стержня - №26 - открытая онлайн библиотека гибкость стержня. (8.9)

Гибкость стержня важная характеристика стержней при расчетах их на устойчивость. В (8.9) надо подставлять Влияние способов закрепления концов стержня - №27 - открытая онлайн библиотека минимальный радиус инерции сечения, поэтому Влияние способов закрепления концов стержня - №28 - открытая онлайн библиотека максимальная гибкость. Стержень теряет устойчивость в той плоскости, в которой его гибкость максимальная.

В неочевидных случаях надо вычислить отдельно: Влияние способов закрепления концов стержня - №29 - открытая онлайн библиотека гибкость относительно (вокруг) оси Влияние способов закрепления концов стержня - №30 - открытая онлайн библиотека и Влияние способов закрепления концов стержня - №31 - открытая онлайн библиотека гибкость относительно оси Влияние способов закрепления концов стержня - №32 - открытая онлайн библиотека , т.е. в плоскости Влияние способов закрепления концов стержня - №33 - открытая онлайн библиотека . Если Влияние способов закрепления концов стержня - №34 - открытая онлайн библиотека , то Влияние способов закрепления концов стержня - №35 - открытая онлайн библиотека и расчет на продольный изгиб надо вести в плоскости изгиба Влияние способов закрепления концов стержня - №36 - открытая онлайн библиотека , а если Влияние способов закрепления концов стержня - №37 - открытая онлайн библиотека , то Влияние способов закрепления концов стержня - №38 - открытая онлайн библиотека и расчет вести в плоскости Влияние способов закрепления концов стержня - №33 - открытая онлайн библиотека . Это очень важно, т.к. в случае ошибки расчет ведут в одной плоскости, а стержень теряет устойчивость в другой плоскости.

Для цилиндрического шарнира (вдоль оси Влияние способов закрепления концов стержня - №30 - открытая онлайн библиотека ) относительно оси Влияние способов закрепления концов стержня - №30 - открытая онлайн библиотека считается шарнир, а относительно оси Влияние способов закрепления концов стержня - №32 - открытая онлайн библиотека можно принять защемление. Однако, следует иметь ввиду, что на практике редко удается осуществить защемление. Достаточно возможности небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях близких к шарнирному опиранию. Поэтому обычно принимают Влияние способов закрепления концов стержня - №43 - открытая онлайн библиотека .

Формула (8.8) тоже формула Эйлера для критических напряжений.

Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря устойчивости за пределами пропорциональности

Формула Эйлера получена из интегрирования дифференциального уравнения упругой оси балки, т.е. предполагалось, что стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Недаром в формуле Эйлера фигурирует модуль Юнга Е.

Следовательно, формулой Эйлера нельзя пользоваться для оценки устойчивости стержней, если критические напряжения, вычисленные по ней, получаются выше предела пропорциональности (где закон Гука не применим).

Итак, формула Эйлера применима при соблюдении условия

Влияние способов закрепления концов стержня - №44 - открытая онлайн библиотека или Влияние способов закрепления концов стержня - №45 - открытая онлайн библиотека , откуда

Влияние способов закрепления концов стержня - №46 - открытая онлайн библиотека

Здесь правая часть представляет наименьшее (предельное) значение гибкости стержня, при котором можно пользоваться формулой Эйлера и обозначается

Влияние способов закрепления концов стержня - №47 - открытая онлайн библиотека (8.10)

Условие применимости формулы Эйлера тогда примет вид:

Влияние способов закрепления концов стержня - №48 - открытая онлайн библиотека (8.11)

Для Ст.3 Влияние способов закрепления концов стержня - №49 - открытая онлайн библиотека и Влияние способов закрепления концов стержня - №50 - открытая онлайн библиотека .

Для Ст.5 Влияние способов закрепления концов стержня - №51 - открытая онлайн библиотека и Влияние способов закрепления концов стержня - №52 - открытая онлайн библиотека .

Для чугуна Влияние способов закрепления концов стержня - №53 - открытая онлайн библиотека .

Для дерева Влияние способов закрепления концов стержня - №54 - открытая онлайн библиотека .

При гибкости стержня, меньше предельной, критическое напряжение, определенное по формуле Эйлера, получается значительно выше Влияние способов закрепления концов стержня - №55 - открытая онлайн библиотека .

Например, при Влияние способов закрепления концов стержня - №56 - открытая онлайн библиотека (Ст.3) Влияние способов закрепления концов стержня - №57 - открытая онлайн библиотека , т.е. величина Влияние способов закрепления концов стержня - №58 - открытая онлайн библиотека оказывается значительно больше предела прочности.

Ошибочное использование формулы Эйлера для вычисления Влияние способов закрепления концов стержня - №58 - открытая онлайн библиотека и проверки устойчивости при малых гибкостях, приводили иногда к серьезным катастрофам сооружений. Итак, решение Эйлера применимо на практике лишь для тонких и длинных стержней с большой гибкостью. Между тем на практике часто встречаются стержни с малой гибкостью.

Опыты показали, что если по Эйлеру Влияние способов закрепления концов стержня - №60 - открытая онлайн библиотека , то действительные критические напряжения значительно ниже определенных по Эйлеру.

Важнейшим источником для установления действительных критических напряжений за пределом пропорциональности, т.е. при малых и средних гибкостях, явились результаты эксперимента.

Стержни, для расчета на устойчивость которых нельзя пользоваться формулой Эйлера, можно разбить на две большие группы:

1) Стержни с малой гибкостью

Влияние способов закрепления концов стержня - №61 - открытая онлайн библиотека

Для таких стержней нельзя говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы стержня в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней. Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом от потери прочности, т.е. напряжения сжатия в них достигнут Влияние способов закрепления концов стержня - №62 - открытая онлайн библиотека (для пластичных) или Влияние способов закрепления концов стержня - №63 - открытая онлайн библиотека (для хрупких) материалов.

Поэтому для коротких толстых стержней Влияние способов закрепления концов стержня - №61 - открытая онлайн библиотека , за критические напряжения принимают:

Влияние способов закрепления концов стержня - №65 - открытая онлайн библиотека или Влияние способов закрепления концов стержня - №66 - открытая онлайн библиотека (8.12)

2) Стержни средней гибкости

Влияние способов закрепления концов стержня - №67 - открытая онлайн библиотека

Для конструкционной Ст.3 Влияние способов закрепления концов стержня - №68 - открытая онлайн библиотека . С подобными значениями гибкости инженер чаще всего встречается на практике.

Эти стержни при сжатии теряют свою прямолинейную форму и разрушаются от продольного изгиба. В опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в Эйлеровом смысле. Для таких стержней критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести материалов.

На основании обширного опытного материала, собранного профессором Ф. Ясинским, им была предложена эмпирическая формула для определения критических напряжений подобных стержней

Влияние способов закрепления концов стержня - №69 - открытая онлайн библиотека – формула Ясинского (8.13)

Влияние способов закрепления концов стержня - №70 - открытая онлайн библиотека Рис.8.4 Здесь Влияние способов закрепления концов стержня - №71 - открытая онлайн библиотека максимальная гибкость стержня, а и Влияние способов закрепления концов стержня - №72 - открытая онлайн библиотека постоянные, зависящие от материала, приводятся в справочниках. Например: Для Ст.3 Влияние способов закрепления концов стержня - №73 - открытая онлайн библиотека кг/см2, Влияние способов закрепления концов стержня - №74 - открытая онлайн библиотека кг/см2. Для дерева Влияние способов закрепления концов стержня - №75 - открытая онлайн библиотека кг/см2, Влияние способов закрепления концов стержня - №76 - открытая онлайн библиотека кг/см2.

На основании всего вышесказанного можно построить график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала.

Для конструкционной Ст.3 с Влияние способов закрепления концов стержня - №77 - открытая онлайн библиотека кг/см2 и Влияние способов закрепления концов стержня - №78 - открытая онлайн библиотека кг/см2 этот график (диаграмма) имеет вид, показанной на рис. 8.4. На этом графике четко выделяется три зоны:

1) Влияние способов закрепления концов стержня - №61 - открытая онлайн библиотека Влияние способов закрепления концов стержня - №65 - открытая онлайн библиотека

2) Влияние способов закрепления концов стержня - №81 - открытая онлайн библиотека прямая Ясинского

3) Влияние способов закрепления концов стержня - №82 - открытая онлайн библиотека гипербола Эйлера

Пунктиром показана гипербола Эйлера за Влияние способов закрепления концов стержня - №55 - открытая онлайн библиотека , которой нельзя пользоваться при Влияние способов закрепления концов стержня - №84 - открытая онлайн библиотека .

Расчет стержней на устойчивость.

Коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения

Для сжатых стержней кроме условия прочности

Влияние способов закрепления концов стержня - №85 - открытая онлайн библиотека , где Влияние способов закрепления концов стержня - №86 - открытая онлайн библиотека (А)

должно быть удовлетворено одновременно условие устойчивости

Влияние способов закрепления концов стержня - №87 - открытая онлайн библиотека (В)

где Влияние способов закрепления концов стержня - №88 - открытая онлайн библиотека допустимые напряжения на устойчивость, Влияние способов закрепления концов стержня - №89 - открытая онлайн библиотека коэффициент запаса устойчивости.

Обычно Влияние способов закрепления концов стержня - №90 - открытая онлайн библиотека имеет более высокое значение, чем коэффициент Влияние способов закрепления концов стержня - №91 - открытая онлайн библиотека запаса прочности.

Зависимости (А) и (В) удобны для проверки прочности и устойчивости уже спроектированных стержней.

Для удобства проектировочных расчетов введено понятие коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения, который обозначается буквой Влияние способов закрепления концов стержня - №92 - открытая онлайн библиотека .

Найдем отношение Влияние способов закрепления концов стержня - №93 - открытая онлайн библиотека или Влияние способов закрепления концов стержня - №94 - открытая онлайн библиотека

Обозначим Влияние способов закрепления концов стержня - №95 - открытая онлайн библиотека (С)

Получим Влияние способов закрепления концов стержня - №96 - открытая онлайн библиотека (8.14)

Влияние способов закрепления концов стержня - №92 - открытая онлайн библиотека еще называют коэффициентом продольного изгиба в Строительных Нормах. Для ряда значений гибкости Влияние способов закрепления концов стержня - №98 - открытая онлайн библиотека , по вышеприведенным формулам или графикам (рис. 8.4) можно найти величины Влияние способов закрепления концов стержня - №58 - открытая онлайн библиотека . Далее, зная Влияние способов закрепления концов стержня - №100 - открытая онлайн библиотека или Влияние способов закрепления концов стержня - №101 - открытая онлайн библиотека и выбрав коэффициенты Влияние способов закрепления концов стержня - №91 - открытая онлайн библиотека и Влияние способов закрепления концов стержня - №103 - открытая онлайн библиотека , по зависимости (С) можно составить для данного материала таблицы значений коэффициента Влияние способов закрепления концов стержня - №92 - открытая онлайн библиотека в функции от гибкости Влияние способов закрепления концов стержня - №98 - открытая онлайн библиотека , т.е. Влияние способов закрепления концов стержня - №106 - открытая онлайн библиотека .

Такие таблицы приводятся в учебниках и задачниках по сопротивлению материалов. Пользуясь этими таблицами удобно подбирать сечения сжатых стержней. Влияние способов закрепления концов стержня - №107 - открытая онлайн библиотека