Влияние начальных несовершенств

До сих пор мы рассматривали задачу устойчивости стержня в идеализированной постановке. Считалось, что стержень идеально прямой, продольная нагрузка приложена строго по оси, а поперечная отсутствует. В реальных конструкциях этого, естественно, не бывает. Выясним насколько существенно влияют на поведение сжатого стержня те или иные отклонения от принятых допущений.

Как было показано в Лекции 2 на примере систем с одной степенью свободы, точки бифуркации свойственны только идеальным системам. Для систем с несовершенствами точки бифуркации первого рода исчезают - система не теряет устойчивости, а плавно отклоняется, причем отклонение резко увеличивается при приближении нагрузки к значению, критическому для идеальной системы.

Для стержневых систем характерно именно такое поведение, а не перескок в новое положение равновесия, свойственный точкам бифуркации второго рода и предельным точкам.

Покажем это на примере стержня, шарнирно опертого по концам.

А. Стержень с начальной погибью

Влияние начальных несовершенств - №1 - открытая онлайн библиотека

Дифференциальное уравнение равновесия такого стержня в отклоненном положении можно составить, приравняв момент внутренних упругих сил к внешнему моменту

Влияние начальных несовершенств - №2 - открытая онлайн библиотека . (10.1)

В левую часть равенства входит только “упругий” прогиб, т.е. отклонение от первоначального искривленного, но ненагруженного состояния. В правую - полный прогиб

Влияние начальных несовершенств - №3 - открытая онлайн библиотека (10.2)

где Влияние начальных несовершенств - №4 - открытая онлайн библиотека - “начальная погибь” стержня в плоскости изгиба.

Подставив (10.2) в (10.1), получаем уравнение

Влияние начальных несовершенств - №5 - открытая онлайн библиотека (10.3)

Присоединив к (10.3) граничные условия

Влияние начальных несовершенств - №6 - открытая онлайн библиотека

приходим к краевой задаче для неоднородного уравнения.

Решение такой задачи обычно строят в виде разложения по собственным функциям однородной задачи. В данном случае

Влияние начальных несовершенств - №7 - открытая онлайн библиотека (10.4)

Подставив (10.4) в (10.3), имеем

Влияние начальных несовершенств - №8 - открытая онлайн библиотека . (10.5)

Разложив Влияние начальных несовершенств - №4 - открытая онлайн библиотека в аналогичный ряд

Влияние начальных несовершенств - №10 - открытая онлайн библиотека (10.6)

где

Влияние начальных несовершенств - №11 - открытая онлайн библиотека (10.7)

мы, вследствие ортогональности системы собственных функций, получаем

Влияние начальных несовершенств - №12 - открытая онлайн библиотека (10.8)

Поскольку собственные значения аналогичной задачи для идеально прямого стержня известны

Влияние начальных несовершенств - №13 - открытая онлайн библиотека (10.9)

соотношение (10.8) можно переписать в виде

Влияние начальных несовершенств - №14 - открытая онлайн библиотека (10.10)

Таким образом отклоненная форма равновесия (10.4)

Влияние начальных несовершенств - №15 - открытая онлайн библиотека (10.11)

Суммарный прогиб согласно (10.2),(10.6), (10.11)

Влияние начальных несовершенств - №16 - открытая онлайн библиотека (10.12)

Легко видеть, что при стремлении Влияние начальных несовершенств - №17 - открытая онлайн библиотека к любой из Влияние начальных несовершенств - №18 - открытая онлайн библиотека , амплитуда i-той гармоники стремится к бесконечности. Это означает, что нагрузка Влияние начальных несовершенств - №17 - открытая онлайн библиотека не может достичь даже первой из Влияние начальных несовершенств - №18 - открытая онлайн библиотека , т.е. Влияние начальных несовершенств - №21 - открытая онлайн библиотека ибо при любых сколь угодно малых Влияние начальных несовершенств - №22 - открытая онлайн библиотека амплитуда первой гармоники при Влияние начальных несовершенств - №23 - открытая онлайн библиотека становится доминирующей. Это обстоятельство позволяет принять приближенное решение в форме

Влияние начальных несовершенств - №24 - открытая онлайн библиотека (10.13)

Влияние начальных несовершенств - №25 - открытая онлайн библиотека

На рис.10.2 показана зависимость макси-мального прогиба Влияние начальных несовершенств - №26 - открытая онлайн библиотека от Влияние начальных несовершенств - №17 - открытая онлайн библиотека при различных Влияние начальных несовершенств - №28 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, стержень с начальной погибью не теряет устойчивости в традиционном смысле. О критической нагрузке для него можно говорить лишь в том смысле, что такая нагрузка, равная Влияние начальных несовершенств - №29 - открытая онлайн библиотека , является недопустимой. Но уже значительно раньше недопустимо большими могут стать прогибы, а вместе с ними и нормальные напряжения

Влияние начальных несовершенств - №30 - открытая онлайн библиотека .

Так для сплошного прямоугольного сечения высотой Влияние начальных несовершенств - №31 - открытая онлайн библиотека

Влияние начальных несовершенств - №32 - открытая онлайн библиотека

Даже при незначительной погиби Влияние начальных несовершенств - №33 - открытая онлайн библиотека эти напряжения вдвое превышают напряжения сжатия уже при Влияние начальных несовершенств - №34 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично решается задача и при других вариантах опирания концов стержня. В общем случае надо исходить вместо (10.3) из уравнения четвертого порядка

Влияние начальных несовершенств - №35 - открытая онлайн библиотека

Отыскивая его решение в форме

Влияние начальных несовершенств - №36 - открытая онлайн библиотека

где Влияние начальных несовершенств - №37 - открытая онлайн библиотека - собственные функции однородной задачи (т.е. собственные формы идеально прямого стержня), мы снова придем к формуле

Влияние начальных несовершенств - №38 - открытая онлайн библиотека , (10.14)

где Влияние начальных несовершенств - №29 - открытая онлайн библиотека - критическая сила прямого стержня, а

Влияние начальных несовершенств - №40 - открытая онлайн библиотека

Влияние начальных несовершенств - №41 - открытая онлайн библиотека

До сих пор мы предполагали, что начальная погибь Влияние начальных несовершенств - №4 - открытая онлайн библиотека известна. Как правило, измерить ее очень не просто.

Однако ее можно определить экспериментально с помощью метода Саусвелла, основанного на структуре формул (10.13), (10.14). Для шарнирно опертого стержня

Влияние начальных несовершенств - №43 - открытая онлайн библиотека . (10.15)

Перепишем (10.15) в виде

Влияние начальных несовершенств - №44 - открытая онлайн библиотека (10.16 )

Построив экспериментально путем нескольких замеров график (рис.9.3) и понимая, что он согласно (10.16) обязан быть линейным, можно экстраполировать полученную зависимость вправо и влево, и графически найти Влияние начальных несовершенств - №29 - открытая онлайн библиотека и Влияние начальных несовершенств - №28 - открытая онлайн библиотека .

Влияние начальных несовершенств - №47 - открытая онлайн библиотека

Б. Эксцентрично сжатый стержень

Пусть к идеально прямому шарнирно опертому стержню нагрузка приложена параллельно оси с эксцентриситетом Влияние начальных несовершенств - №48 - открытая онлайн библиотека .

Дифференциальное уравнение, аналогичное (10.3),

Влияние начальных несовершенств - №49 - открытая онлайн библиотека (10.17)

Очевидно, что решение может быть получено из решения предыдущей задачи при Влияние начальных несовершенств - №50 - открытая онлайн библиотека . Разложив Влияние начальных несовершенств - №50 - открытая онлайн библиотека в ряд (10.6), будем иметь

Влияние начальных несовершенств - №52 - открытая онлайн библиотека (10.18)

Таким образом, результат будет тем же, что и в предыдущем случае при

Влияние начальных несовершенств - №53 - открытая онлайн библиотека .

В. Продольно-поперечный изгиб

Влияние начальных несовершенств - №54 - открытая онлайн библиотека

Пусть кроме приложенной строго по оси силы Влияние начальных несовершенств - №17 - открытая онлайн библиотека на идеально прямой стержень действует некоторая поперечная нагрузка Влияние начальных несовершенств - №56 - открытая онлайн библиотека .

Эта нагрузка порождает в опорах реакции Влияние начальных несовершенств - №57 - открытая онлайн библиотека и совместно с продольной силой Влияние начальных несовершенств - №17 - открытая онлайн библиотека вызывает в произвольном сечении балки изгибающий момент

Влияние начальных несовершенств - №59 - открытая онлайн библиотека (10.19)

В результате дифференциальное уравнение равновесия для этого случая

Влияние начальных несовершенств - №60 - открытая онлайн библиотека , (10.20)

где

Влияние начальных несовершенств - №61 - открытая онлайн библиотека (10.21)

Легко видеть, что мы снова получили уравнение вида (10.3) при

Влияние начальных несовершенств - №62 - открытая онлайн библиотека (10.22)

Разложив эту функцию в ряд (10.6), получим

Влияние начальных несовершенств - №63 - открытая онлайн библиотека . (10.23)

Теперь мы можем воспользоваться результатом, полученным для случая А

Влияние начальных несовершенств - №64 - открытая онлайн библиотека .

В частности, для массивного стержня, где весом нельзя пренебречь, имеем

Влияние начальных несовершенств - №65 - открытая онлайн библиотека Влияние начальных несовершенств - №66 - открытая онлайн библиотека

Рассмотренные случаи позволяют сделать общий вывод. Стержни с начальными несовершенствами устойчивости в классическом смысле не теряют. С ростом нагрузки их прогибы плавно увеличиваются и при Влияние начальных несовершенств - №67 - открытая онлайн библиотека обращаются в бесконечность. Поскольку такая нагрузка недопустима, ее иногда называют критической. Реально допустимая нагрузка Влияние начальных несовершенств - №68 - открытая онлайн библиотека . Она определяется по предельно допустимым прогибам или напряжениям Влияние начальных несовершенств - №69 - открытая онлайн библиотека при изгибе стержня.