Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова

Як було відзначено раніше, оцінювачі, отримані за МНК при зроблених припущеннях CLRM, мають деякі ідеальні або оптимальні властивості. Вони зазначені в добре відомій теоремі Гаусса-Маркова. Для того щоб зрозуміти її значення, необхідно розглянути властивість найкращого лінійного незміщеного оцінювача (best linear unbiasedness property an estimator). Оцінювач, скажімо Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека за МНК, вважається найкращим лінійним незміщеним оцінювачем BLUE (best linear unbiased estimator) Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №2 - открытая онлайн библиотека , якщо він має такі властивості:

1. Він лінійний, тобто являє собою лінійну функцію випадкової змінної, таку як залежна змінна Y в регресійній моделі.

2. Він є незміщеним оцінювачем, тобто Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №3 - открытая онлайн библиотека .

3. Він має найменшу дисперсію в класі всіх лінійних незміщених оцінювачів; незміщений оцінювач з найменшою дисперсією відомий як ефективний оцінювач.

Можна довести, що оцінювачі, отримані за МНК, мають властивості найкращого лінійного незміщеного оцінювача BLUE. Це є висновком відомої теореми Гаусса-Маркова, яка може бути сформульована таким чином: при прийнятих гіпотезах класичної регресійної лінійної моделі отримані за методом найменших квадратів оцінювачі в класі лінійних незміщених оцінювачів мають найменшу дисперсію, тобто вони є найкращими лінійними незміщеними оцінювачами.

Дана теорема дуже важлива при регресійному аналізі, оскільки стосується як теорії, так і практики.

Пояснимо значення теореми за допомогою рис. 2.10.

На рис. 2.10, а показаний розподіл за вибірками оцінювача Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека , отриманого за МНК, у вибірках, що повторюються. Для зручності ми припустимо, що розподіл Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека розташований симетрично. Як бачимо з рисунка,математичне сподівання Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека дорівнює істинному значенню Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №2 - открытая онлайн библиотека , тобто Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №3 - открытая онлайн библиотека . Це і є значення, яке ми вкладаємо в термін “незміщена оцінка”. На рис. 2.10, б показаний розподіл оцінювача Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека , отриманого за альтернативним методом. Для зручності ми припустили, що Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека , як і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека , має властивість незміщеності. Припустимо, що і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека є лінійними оцінювачами, тобто вони є лінійними функціями від Y. Який із оцінювачів - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека або Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека - слід вибрати?

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №16 - открытая онлайн библиотека

а

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №17 - открытая онлайн библиотека

б

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №18 - открытая онлайн библиотека

в

Рис. 2.10. Розподіл за вибіркою за МНК Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека і альтернативного оцінювача Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека : а - розподіл Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №2 - открытая онлайн библиотека ; б - розподіл Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека ; в - розподіл Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №2 - открытая онлайн библиотека і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека

Щоб відповісти на це запитання накладемо два рисунки, як показано на рис. 2.8, в. Із рис. 2.10, в бачимо, що хоча обидва розподіли незміщені, для Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека ми маємо більш розмитий розподіл біля середнього значення в порівнянні з розподілом Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека . Іншими словами, дисперсія Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №9 - открытая онлайн библиотека більша, ніж дисперсія Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №1 - открытая онлайн библиотека . Зрозуміло, що з двох даних оцінювачів, які мають властивості лінійності і незміщеності, слід вибрати оцінювач із меншою дисперсією, оскільки він ближче до Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №2 - открытая онлайн библиотека , ніж альтернативний оцінювач. Отже, завжди слід вибирати найкращий лінійний незміщений оцінювач (BLUE).

Розглянуті нами статистичні властивості відомі як властивості кінцевих вибірок. Ці властивості зберігаються незалежно від розміру вибірки, за даними якої отримані оцінювачі. Пізніше ми матимемо нагоду розглянути асимптотичні властивості, тобто властивості, які зберігаються тільки у випадку, коли вибірка дуже велика (нескінченна).

2.5. Коефіцієнт детермінації Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №30 - открытая онлайн библиотека : міра «якості підгонки»

Звернемося зараз до розгляду питання якості підгонки лінії регресії до множини даних, тобто дослідимо, наскільки «добре» лінія вибіркової регресії підходить до цих даних. Із рис.1.1 бачимо, що якби всі спостереження знаходилися на лінії регресії, ми отримали б “точну підгонку”, але на практиці це окремий випадок. У загальному ж випадку будуть як позитивні відхилення Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №31 - открытая онлайн библиотека , так і негативні. Ми прагнемо, щоб ці залишки були наскільки можливо малі. Коефіцієнт детермінації Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека (випадок двох змінних) або Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №33 - открытая онлайн библиотека (множинна регресія) являє собою сумарну міру якості підгонки лінії регресії до даних спостереження.

Перш ніж з’ясовувати, як підраховується Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека , розглянемо евристичне пояснення Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека за допомогою графічних діаграм, відомих як діаграма Венна (Venn) (рис. 2.11).

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №36 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №37 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №38 - открытая онлайн библиотека

а б в

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №39 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №40 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №41 - открытая онлайн библиотека

г д е

Рис. 2.11. Діаграма для пояснення Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека : а - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека дорівнює 0; б - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека близький до 0;

в - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека близький до 0,5; г - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека більш ніж 0,5; д - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека близький до 1;

е - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека дорівнює 1

На цій діаграмі коло Y зображає дисперсію залежної змінної Y, а коло Х - дисперсію пояснювальної змінної Х. Перетин двох кіл (заштрихована область) являє собою область, у якій дисперсія Y пояснюється дисперсією в Х (скажімо, за регресією МНК). Чим більша область перетину, тим більше дисперсія Y пояснюєтьсяза допомогою Х. Коефіцієнт детермінації Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека зображає числову міру області перетину. На рис. 2.9 бачимо, що при русі зліва направо область перекриття збільшується, тобто послідовно зростає частина варіації Y, з’ясована за допомогою Х, - Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека зростає. Коли перекриття немає, Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека , очевидно, дорівнює нулю, а коли відбувається повне перекриття, то Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №52 - открытая онлайн библиотека , оскільки 100% дисперсії Y пояснюється за допомогою Х. Як незабаром переконаємося Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека лежить між 0 і 1.

Для обчислення коефіцієнта Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека зробимо так. Пригадаємо, що

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №55 - открытая онлайн библиотека  

або у формі відхилень

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №56 - открытая онлайн библиотека . (2.5.1)

Підносячи обидві частини цієї рівності у квадрат і підсумовуючи, отримаємо

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №57 - открытая онлайн библиотека , (2.5.2)

оскільки Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №58 - открытая онлайн библиотека і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №59 - открытая онлайн библиотека .

Різні суми квадратів, що входять у (2.5.2), можуть бути описані таким чином: Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №60 - открытая онлайн библиотека – загальна дисперсія величини Y відносно середньої величини за вибіркою, що називається загальною сумою квадратів TSS (total sum squares); Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №61 - открытая онлайн библиотека – дисперсія оціненої величини Y щодо її середнього значення (( Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №62 - открытая онлайн библиотека ) або з’ясована сума квадратів з рівняння регресії ESS (explained sum squares); Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №63 - открытая онлайн библиотека – залишкова або нез’ясована дисперсія величини Y щодо лінії регресії або просто залишкова сума квадратів RSS (residual sum squares). Таким чином, з (2.5.2) одержуємо рівність

TSS=ESS+RSS. (2.5.3)

Вона показує, що загальна варіація спостережуваних величин Y щодо їх середнього значення може бути розбита на дві частини, одна відповідає лінії регресії, а інша - випадковим відхиленням, оскільки не всі спостережувані Y лежать на лінії регресії. На рис. 2.10 це розбиття пояснене геометрично.

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №64 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.12. Розбиття варіації Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №65 - открытая онлайн библиотека на дві компоненти

Розділивши обидві частини (2.5.3) на TSS, одержуємо

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №66 - открытая онлайн библиотека . (2.5.4)

Визначимо тепер коефіцієнт детермінації Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №67 - открытая онлайн библиотека таким способом:

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №68 - открытая онлайн библиотека (2.5.5)

або в альтернативному вигляді

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №69 - открытая онлайн библиотека . (2.5.5а)

Визначена таким чином величина Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №67 - открытая онлайн библиотека , відома як коефіцієнт детермінації, і є мірою якості підгонки лінії регресії, що широко застосовується.

Відзначимо такі дві властивості Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека :

1. Коефіцієнт Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №67 - открытая онлайн библиотека не негативний (випливає з виразу (2.5.5)).

2. Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №67 - открытая онлайн библиотека має межі Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №74 - открытая онлайн библиотека . При значенні Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №52 - открытая онлайн библиотека ми маємо випадок точної підгонки, тобто Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №76 - открытая онлайн библиотека для кожного i. Водночас випадок Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №77 - открытая онлайн библиотека означає відсутність зв’язку між регресантом і регресором (тобто Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №78 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №76 - открытая онлайн библиотека для всіх i). У цьому випадку, як бачимо з рівняння Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №80 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №76 - открытая онлайн библиотека , тобто кращим прогнозом для будь-якої величини Y є її середнє значення. При цьому лінія регресії - паралель осі X.

Хоча Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека можна обчислити безпосередньо за формулами (2.5.5), (2.5.5а), простіше скористатися такими формулами:

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №83 - открытая онлайн библиотека . (2.5.6)

Розділивши чисельник і знаменник (2.5.6) на розмір вибірки N (або N–1, якщо розмір вибірки малий), одержуємо

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №84 - открытая онлайн библиотека , (2.5.7)

де Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №85 - открытая онлайн библиотека і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №86 - открытая онлайн библиотека - вибіркові дисперсії (sample variances) за Y і Х відповідно.

Оскільки Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №87 - открытая онлайн библиотека , рівняння (2.5.6) можна зобразити у вигляді

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №88 - открытая онлайн библиотека . (2.5.8)

Застосовуючи вирази для Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека , ми можемо подати ESS і RSS таким чином:

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №90 - открытая онлайн библиотека , (2.5.9)
Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №91 - открытая онлайн библиотека . (2.5.10)

Отже, ми можемо записати

TSS=ESS+RSS,  
Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №92 - открытая онлайн библиотека . (2.5.11)

Коефіцієнт кореляції, що являє собою ступінь асоціативності між двома змінними, кількісно близько пов’язаний з Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека , але концептуально вони дуже різні. Коефіцієнт кореляції можна визначити за формулою

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №94 - открытая онлайн библиотека (2.5.12)
або   Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №95 - открытая онлайн библиотека . (2.5.13)

Визначена таким чином величина має назву коефіцієнта кореляції за вибіркою.

Ось деякі його властивості:

1. Він може бути позитивним або негативним, знак r залежить від знака чисельника (2.5.13), що є мірою коваріації за вибіркою двох змінних.

2. Він лежить між –1 і 1, тобто Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №96 - открытая онлайн библиотека .

3. За своєю природою він симетричний, тобто коефіцієнт кореляції між Х і Y (rXY) той же, що й між Y і Х (rYX).

4. Він незалежний по відношенню до вибору початку системи координат і масштабу вздовж осей координат, тобто, якщо ми визначимо Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №97 - открытая онлайн библиотека і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №98 - открытая онлайн библиотека , де Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №99 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №100 - открытая онлайн библиотека , а, b і d – константи, то r між Х* і Y* те ж, що й між початковими змінними Х і Y.

5. Якщо Х і Y статистично незалежні, коефіцієнт кореляції між ними дорівнює нулю, але якщо Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №101 - открытая онлайн библиотека , це не означає, що дві змінні незалежні. Іншими словами, нульовий коефіцієнт кореляції не обов’язково означає незалежність (рис. 2.13з).

6. Коефіцієнт кореляції є міра тільки лінійної асоціативності або лінійної залежності; він незастосовний для опису нелінійної залежності. Так, на рис. 2.13, з Y=X2 є точна залежність, хоча Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №101 - открытая онлайн библиотека .

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №103 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №104 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №105 - открытая онлайн библиотека

а б в

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №106 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №107 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №108 - открытая онлайн библиотека

г д е

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №109 - открытая онлайн библиотека Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №110 - открытая онлайн библиотека

ж з

Рис. 2.13. Кореляційний коефіцієнт для різних випадків вибірок:

а - r=1; б - r=-1; в - r близький до 1; г - r близький до –1;

д - r додатній, близький до 0; е - r від’ємний, близький до 0; ж - r=0; з - r=0

7. Хоча r є мірою лінійної асоціативності між двома змінними, це необов’язково означає який-небудь причинно-наслідковий зв’язок, як було відзначено раніше.

У контексті регресії Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека більш інформативний, ніж r, оскільки Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека вказує на частку варіації в залежній змінній, що з’ясовується пояснювальною змінною.

Насамкінець зауважимо, що коефіцієнт детермінації Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №32 - открытая онлайн библиотека може бути обчислений як квадрат коефіцієнта кореляції між змінними Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №65 - открытая онлайн библиотека і Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №115 - открытая онлайн библиотека за такою формулою:

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №116 - открытая онлайн библиотека  
або Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №117 - открытая онлайн библиотека .  

Числовий приклад

Проілюструємо теорію економічного аналізу на прикладі функції споживання Кейнса. Пригадаємо, за Кейнсом, “фундаментальним психологічним законом є те, що чоловіки (жінки) налаштовані, як правило, в середньому, збільшувати обсяг споживаних благ у міру зростання свого доходу, але в меншій мірі, ніж збільшується дохід, тобто гранична схильність до споживання (MPC) більше нуля, але менше одиниці”. Хоча Кейнс не вказує точний вид функціональної залежності між споживанням і доходом, для простоти припустимо, що співвідношення лінійне

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №118 - открытая онлайн библиотека .  

Для перевірки теорії Кейнса скористаємося даними вибірки, наведеними в табл. 1.3. Оцінка лінії регресії (рис. 2.14), отже, має вигляд

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №119 - открытая онлайн библиотека .  

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №120 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.14. Лінія вибіркової регресії

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №121 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №122 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №123 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №124 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №125 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №126 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №127 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №128 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №129 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №130 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №131 - открытая онлайн библиотека . (2.6.1)

Оцінена лінія регресії має такий вигляд:

Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №119 - открытая онлайн библиотека . (2.6.2)

Відповідно до висловленого вище отримані результати можна інтерпретувати таким чином. Кожна точка на лінії регресії являє собою оцінку очікуваної або середньої величини Y, відповідної вибраному значенню Х; тобто Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №133 - открытая онлайн библиотека - оцінка Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №134 - открытая онлайн библиотека . Величина Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №135 - открытая онлайн библиотека , визначаюча кутовий коефіцієнт лінії регресії показує, що для вибірки з областю зміни Х доходу за місяць між 80 дол. і 260 дол. зі зростанням Х на 1 дол. оцінка збільшення середніх витрат сім’ї на споживання складає близько 51 цента. Величина Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №136 - открытая онлайн библиотека , визначаюча точку перетину лінії регресії з віссю Y, означає середні граничні витрати сім’ї, що має нульовий рівень доходів. Звичайно, це суто механічна інтерпретація коефіцієнта Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №137 - открытая онлайн библиотека . У регресійному аналізі подібна інтерпретація не завжди відповідає значенню задачі, хоча в нашому прикладі на користь подібного трактування можна сказати, що сім’я без доходу (через безробіття, скорочення виробництва та под.) може підтримувати деякий мінімальний рівень споживання або за рахунок позичання грошей, або використовуючи заощадження. Але в загальному випадку при інтерпретації значення коефіцієнта Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №137 - открытая онлайн библиотека потрібно керуватися здоровим глуздом, оскільки часто область зміни Х може не включати нуль як одну зі спостережуваних величин.

Можливо, краще інтерпретувати Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №137 - открытая онлайн библиотека як середню величину впливу на Y всіх змінних, не включених явно в модель. Величина Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №140 - открытая онлайн библиотека означає, що близько 96% дисперсії тижневих витрат на споживання пояснюється за рахунок доходу. Оскільки Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №141 - открытая онлайн библиотека може набути найбільшого значення 1, то можна сказати, що якість лінії регресії дуже добра. Коефіцієнт кореляції Властивості оцінювачів за МНК: теорія Гаусса-Маркова - №142 - открытая онлайн библиотека показує, що дві змінні, споживацькі витрати і дохід, високопозитивно корельовані.