Властивості оцінок за МНК

1. Оцінки за МНК виражаються тільки через величини спостережуваних змінних X і Y. Унаслідок цього вони можуть бути легко обчислені за формулами (2.1.15) (2.1.16).

2. Ці оцінки є точковими, тобто для даної вибірки кожен оцінювач матиме єдину величину, визначувану спостережуваними значеннями. Надалі ми розглянемо так звані інтервальні оцінки, які дають інтервал можливих значень невідомих параметрів.

Відзначимо деякі властивості лінії SRF.

1. Лінія SRF проходить через середні значення вибірки X і Y, тобто через точку Властивості оцінок за МНК - №1 - открытая онлайн библиотека . Цей факт безпосередньо випливає з формули (2.1.16), якщо її перетворити до вигляду

Властивості оцінок за МНК - №2 - открытая онлайн библиотека .

На рис. 2.2 показано, що лінія SRF проходить через точку Властивості оцінок за МНК - №1 - открытая онлайн библиотека .

Властивості оцінок за МНК - №4 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.2. Лінія SRF

2. Середня величина Y за наслідками вибірки дорівнює середній величині, отриманій із рівняння регресії Властивості оцінок за МНК - №5 - открытая онлайн библиотека , тобто

Властивості оцінок за МНК - №6 - открытая онлайн библиотека . (2.2.1)

Щоб довести це, виконаємо такі перетворення:

Властивості оцінок за МНК - №7 - открытая онлайн библиотека .

Ми підставили замість Властивості оцінок за МНК - №8 - открытая онлайн библиотека його вираз із (2.1.16). Підсумуємо обидві частини отриманої рівності за всім обсягом вибірки

Властивості оцінок за МНК - №9 - открытая онлайн библиотека ,

Властивості оцінок за МНК - №10 - открытая онлайн библиотека , Властивості оцінок за МНК - №11 - открытая онлайн библиотека .

При цьому ми використовували властивість (2.1.12).

3. Середня величина залишків Властивості оцінок за МНК - №12 - открытая онлайн библиотека є нуль, тобто Властивості оцінок за МНК - №13 - открытая онлайн библиотека . Ця властивість виходить безпосередньо з (2.1.5) і (2.1.7). Використовуючи цю властивість, можна перетворити рівняння SRF

Властивості оцінок за МНК - №14 - открытая онлайн библиотека (2.2.2)

до іншого вигляду, в який будуть входити лише змінні у відхиленнях. Для цього підсумуємо останню рівність за всією вибіркою

Властивості оцінок за МНК - №15 - открытая онлайн библиотека .

Поділивши останню рівність на N, одержуємо

Властивості оцінок за МНК - №2 - открытая онлайн библиотека .  

Віднімемо цю рівність від (2.2.2):

Властивості оцінок за МНК - №17 - открытая онлайн библиотека  

або

Властивості оцінок за МНК - №18 - открытая онлайн библиотека . (2.2.3)

Рівняння (2.2.3) називається рівнянням у відхиленнях. Зауважимо, що Властивості оцінок за МНК - №19 - открытая онлайн библиотека в це рівняння не входить. Рівняння SRF у відхиленнях можна подати у вигляді

Властивості оцінок за МНК - №20 - открытая онлайн библиотека . (2.2.3)

4. Залишки Властивості оцінок за МНК - №21 - открытая онлайн библиотека не корелюються з Властивості оцінок за МНК - №22 - открытая онлайн библиотека , тобто Властивості оцінок за МНК - №23 - открытая онлайн библиотека . Це твердження виходить безпосередньо з (2.1.6) і (2.1.7).

5. Залишки Властивості оцінок за МНК - №21 - открытая онлайн библиотека не корелюються з Властивості оцінок за МНК - №25 - открытая онлайн библиотека , тобто Властивості оцінок за МНК - №26 - открытая онлайн библиотека . Дійсно

Властивості оцінок за МНК - №27 - открытая онлайн библиотека .  

6. Залишки Властивості оцінок за МНК - №21 - открытая онлайн библиотека не корелюються з Властивості оцінок за МНК - №29 - открытая онлайн библиотека , тобто Властивості оцінок за МНК - №30 - открытая онлайн библиотека . Підставляючи замість Властивості оцінок за МНК - №29 - открытая онлайн библиотека його значення з (2.2.3), одержуємо

Властивості оцінок за МНК - №32 - открытая онлайн библиотека .