Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель

Розглянемо експоненціальну регресійну модель

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №1 - открытая онлайн библиотека , (4.4.1)

яка після логарифмування обох частин може бути подана у вигляді

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №2 - открытая онлайн библиотека . (4.4.2)

Якщо ми запишемо (4.4.2) у вигляді

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №3 - открытая онлайн библиотека , (4.4.3)

де Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №4 - открытая онлайн библиотека , то побачимо, що ця модель лінійна за параметрами Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №5 - открытая онлайн библиотека і Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека , а також за логарифмами змінних Х і Y. Отже, для знаходження Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №5 - открытая онлайн библиотека і Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека може бути застосований МНК. Така модель ще називається “подвійною логарифмічною” або “логарифмічною лінійною”.

Якщо припущення класичної лінійної регресійної моделі виконуються, то параметри (4.4.3) можуть бути оцінені за МНК із рівняння

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №9 - открытая онлайн библиотека , (4.4.4)

де Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №10 - открытая онлайн библиотека , Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №11 - открытая онлайн библиотека . Отримані за МНК оцінки Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №12 - открытая онлайн библиотека і Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №13 - открытая онлайн библиотека будуть найкращими незміщеними лінійними оцінками для Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №5 - открытая онлайн библиотека і Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека , відповідно.

Перевагою цієї моделі є те, що кутовий коефіцієнт Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека є мірою еластичності Y по відношенню до Х, тобто визначає відсоток зміни Y для даного (малого) відсотка зміни Х. Так, якщо Y зображує попит на товар, а Х – ціну одиниці товару, то Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека вимірює величину еластичності попиту за ціною, параметр lnY, що становить в економіці значний інтерес.

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №18 - открытая онлайн библиотека Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №19 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.2 . Експоненціальна модель Рис. 4.3. Лінійно-логарифмічна модель

Якщо співвідношення між величиною попиту і ціною таке, як зображено на рис. 4.2, то подвійне логарифмічне перетворення даватиме оцінку еластичності ціни ( Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №20 - открытая онлайн библиотека ).

Слід зазначити два особливі моменти лінійної логарифмічної моделі: ця модель припускає, що коефіцієнт еластичності між Y і Х ( Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека ) залишається постійним на всьому проміжку зміни Х. Цю властивість можна перевірити, оскільки еластичність Y по Х обчислюється за формулою

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №22 - открытая онлайн библиотека .  

Якщо підставити в неї Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №23 - открытая онлайн библиотека , то отримаємо

Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №24 - открытая онлайн библиотека .  

Ця властивість пояснює, чому дана модель називається моделлю з постійною еластичністю. Іншими словами, зміна lnY при одиничній зміні lnХ, тобто еластичність Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека , залишається незмінною незалежно від точки lnX, в якій проводиться вимірювання (рис.4.3). Іншою особливістю моделі є те, що, хоча Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №12 - открытая онлайн библиотека і Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №13 - открытая онлайн библиотека є незміщеними оцінками Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №5 - открытая онлайн библиотека і Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №6 - открытая онлайн библиотека , Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №30 - открытая онлайн библиотека (параметр, що входить у початкову модель Вимірювання еластичності. Лінійно-логарифмічна модель - №31 - открытая онлайн библиотека ) є зміщеною оцінкою. У більшості практичних задач, проте, цей член має другорядне значення і немає необхідності в отриманні незміщеної оцінки.