Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов

В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы.

Алгоритмом метода контурных токов:

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.

2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников тока независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока.

3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!).

4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.

5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

Пример решения задачДано:                                                   

E1 = 24 B

E2 = 18 B

Ri1 = 0,5 Ом

Ri2 = 0,2 Ом

R1 = 1,5 Ом                                               

R2 = 1,8 Ом

R3 = 2 Ом

Найти: I1-3-?

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №1 - открытая онлайн библиотека

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №2 - открытая онлайн библиотека

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №3 - открытая онлайн библиотека Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №4 - открытая онлайн библиотека

30=6I1к 6=4∙5-2I2к

I1к=5A I2к=7A

Ответ:

I3=I2к=7A, I1= I1к=5A, I2= I2к- I1к=7-5=2A

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №5 - открытая онлайн библиотека

Метод наложения

Метод наложения относительно прост, и в основном применяется для не сложных электрических цепей.

Его суть заключается в том, что токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого источника. То есть каждый источник тока вносит свою часть в каждый ток в цепи, а чтобы найти эти токи, нужно найти и сложить все составляющие. Таким образом, мы сводим решение одной сложной цепи к нескольким простым (с одним источником).Порядок расчета

1 – Составление частных схем, с одним источником ЭДС, остальные источники исключаются, от них остаются только их внутренние сопротивления.

2 – Определение частичных токов в частных схемах, обычно это несложно, так как цепь получается простой.

3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в исходной цепи.

Пример решения методом наложения

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №6 - открытая онлайн библиотека

1. Для начала произвольно выберем направление токов, если в итоге какой либо ток получится со знаком минус, значит нужно изменить направление данного тока на противоположное.

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №7 - открытая онлайн библиотека

2. Составим частную схему с первым источником ЭДС и рассчитаем частные токи в ней, убрав второй источник. Для удобства частичные токи будем обозначать штрихами.

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №8 - открытая онлайн библиотека

Свернем схему к одному контуру, с сопротивлением источника и эквивалентным сопротивлением цепи для нахождения тока источника I1. Для тех, у кого возникают затруднения с нахождением эквивалентного сопротивления рекомендуем прочесть статью виды соединения проводников.

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №9 - открытая онлайн библиотека

Найдем ток по закону Ома для полной цепи

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №10 - открытая онлайн библиотека

Найдем напряжение на R2345

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №11 - открытая онлайн библиотека

Тогда ток I3 равен

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №12 - открытая онлайн библиотека

А ток I4

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №13 - открытая онлайн библиотека

Определим напряжение на R25

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №14 - открытая онлайн библиотека

Найдем токи I2 и I5

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №15 - открытая онлайн библиотека

3. Составим частную схему со вторым источником ЭДС

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №16 - открытая онлайн библиотека

Аналогичным образом вычислим все частичные токи от второй ЭДС

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №17 - открытая онлайн библиотека

4. Найдем токи в исходной цепи, для этого просуммируем частичные токи, учитывая их направление. Если направление частичного тока совпадает с направлением исходного тока, то берем со знаком плюс, в противном случае со знаком минус.

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №18 - открытая онлайн библиотека

Метод двух узлов.

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Данным методом могут быть рассчитаны цепи содержащие два неустранимых узла. Для расчёта методом двух узлов находят напряжение между зтими узлами Uab по формуле:

1. Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №19 - открытая онлайн библиотека

Где Ek - напряжение источника ЭДС k-ой ветви, Gk - проводимость k-ой ветви, Jk - ток источника тока k-ой ветви.
Затем находят токи в ветвях без источников тока по формуле:

2. Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №20 - открытая онлайн библиотека

Ток в ветви с источником тока равен току этого источника.

Метод узловых потенциалов.

Метод узловых потенциалов, так же как и метод контурных токов позволяет снизить порядок системы для расчета электротехнических схем. Данный метод состоит в нахождении потенциалов всех узлов схемы и затем по известным потенциалам токов во всех ветвях. Метод узловых потенциалов базируется на первом законе Кирхгофа.
Прежде чем приступить к изучению метода узловых потенциалов, рассмотрим схему рис.53:

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №21 - открытая онлайн библиотека

Рис. 53.

Пусть в ней известны потенциалы Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №22 - открытая онлайн библиотека и Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №23 - открытая онлайн библиотека , а так же все параметры элементов. Запишем значение потенциала Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №22 - открытая онлайн библиотека через потенциал Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №23 - открытая онлайн библиотека и через падения напряжений на элементах схемы. Запись произведем с учетом того, что ток всегда протекает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом.
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №26 - открытая онлайн библиотека .
Выразим из этого уравнения ток:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №27 - открытая онлайн библиотека .
Положим данную конструкцию в основу дальнейшего вывода. Рассмотрим схему рис. 54:

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №28 - открытая онлайн библиотека

Рис. 54.

Выразим все токи через потенциалы узлов Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №22 - открытая онлайн библиотека , Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №23 - открытая онлайн библиотека , Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №31 - открытая онлайн библиотека и Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №32 - открытая онлайн библиотека .
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №33 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №34 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №35 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №36 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №37 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №38 - открытая онлайн библиотека .
Далее запишем первый закон Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3.
Для узла 1:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №39 - открытая онлайн библиотека .
Для узла 2:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №40 - открытая онлайн библиотека .
Для узла 3:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №41 - открытая онлайн библиотека .
Произведем подстановку в эти уравнения токов, выраженных через потенциалы:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №42 - открытая онлайн библиотека ;
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №43 - открытая онлайн библиотека ;
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №44 - открытая онлайн библиотека .
Выполним почленное деление на Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №45 - открытая онлайн библиотека и перенесем члены уравнения, содержащие ЭДС в правую часть. Запишем первое уравнение относительно Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №22 - открытая онлайн библиотека , второе – относительно Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №23 - открытая онлайн библиотека , третье – относительно Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №31 - открытая онлайн библиотека . Потенциал Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №32 - открытая онлайн библиотека приравняем к нулю Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №50 - открытая онлайн библиотека . Получим:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №51 - открытая онлайн библиотека ;
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №52 - открытая онлайн библиотека ;
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №53 - открытая онлайн библиотека .
Воспользовавшись этой системой уравнений можно рассчитать потенциалы узлов, а затем токи в ветвях как:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №33 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №34 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №35 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №36 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №37 - открытая онлайн библиотека ; Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №38 - открытая онлайн библиотека .
Обозначим сумму проводимостей ветвей принадлежащих одному узлу узловыми проводимостями:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №60 - открытая онлайн библиотека , Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №61 - открытая онлайн библиотека , Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №62 - открытая онлайн библиотека .
А проводимости, ветвей между узлами взаимными проводимостями:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №63 - открытая онлайн библиотека , Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №64 - открытая онлайн библиотека , Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №65 - открытая онлайн библиотека .
С учетом введенных обозначений запишем систему уравнений для расчета узловых потенциалов в общем виде:
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №66 - открытая онлайн библиотека ;
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №67 - открытая онлайн библиотека ;
Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №68 - открытая онлайн библиотека .

Приведем алгоритм расчета электрических схем с помощью метода узловых потенциалов.
1. Приравняем потенциал одного из узлов 0;
2. Составим уравнения по методу узловых потенциалов (знаки (-) в уравнениях присваиваются автоматически). В правой части уравнений знак определяется следующим образом: если ЭДС направлена к узлу, то она имеет знак (+), если от узла – (-);
3. Рассчитываем уравнения, определяем потенциалы.
4. Определяем токи по приведённым ранее формулам.

9.Принцип взаимности.

Принцип взаимности определяет связи между токами и напряжениями в двух ветвях пассивной цепи при действии в них источников различного характера.

1. Рассмотрим две ветви k и m пассивной электрической цепи, обозначенной на рис. 6.3, а как П.

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №69 - открытая онлайн библиотека

Рис. 6.3

Пусть единственный источник ЭДС e, действующий в ветви k, вызывает в ветви m ток im. Тогда при действии такого же источника e в ветви m (рис. 6.3, б) той же цепи ток ik в ветви k, обусловленный этим источником, будет равен току im. Сформулированный принцип не является очевидным. Для его обоснования запишем для цепи, изображенной на рис. 6.3, а, с помощью правила Крамера (см. п. 4.5) решение алгебраической системы контурных уравнений, составленных таким образом, чтобы ток ik в k-й ветви совпал с k-м контурным током, а ток im - с m-м контурным током. В этом случае

im = ekDkm/D =ek/rkm,

где D - определитель матрицы контурных сопротивлений Rк, Dkm - алгебраическое дополнение элемента Rkm этой матрицы, rkm = D/Dkm - сопротивление передачи от k-ого контура к m-му. Его смысл следует из приведенного равенства: оно определяет ток в m-й ветви, обусловленный источником ЭДС, действующим в k-й ветви.

Для схемы, изображенной на рис. 6.3, б, при том же выборе контуров получим: ik = emDmk/D = em/rmk. Здесь все величины аналогичны по смыслу записанным выше.

Сопоставление выражений для ik и im показывает, что при равенстве ek = em имеем ik = im, поскольку матрица контурных сопротивленийRк

пассивной цепи симметрична (Rkm = Rmk) и, следовательно, равны друг другу алгебраические дополнения Dkm = Dmk и сопротивления передачи rkm = rmk. Таким образом, принцип взаимности устанавливает равенство сопротивлений передачи от k-ого контура к m-му и обратно в пассивной цепи.

2. Дуальная формулировка выражает связи между напряжениями на участках цепи m и k, обусловленными действием в цепи источников тока (рис. 6.4, а).

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №70 - открытая онлайн библиотека

Рис. 6.4

При переносе источника J в ветвь m (рис. 6.4, б) он вызовет на участке k такое же напряжение uk, какое было в исходной цепи (рис. 6.4, а) в ветви m. Это свойство пассивной цепи вытекает из симметрии матрицы узловых проводимостей пассивной цепи. Оно может быть доказано с использованием узловых уравнений.

Понятие проводимости передачи gkm, определяющее напряжение на ветви m, создаваемое током Jk: um = Jk/gkm, приводит к формулировке принципа взаимности в виде равенства проводимостей передачи между узлами k и m: gkm = gmk.

3. Еще одно проявление принципа взаимности можно обнаружить при сравнении тока im, вызванного источником тока Jk, и напряжения uk, обусловленного действием ЭДС em (рис. 6.5 а,б).

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №71 - открытая онлайн библиотека

Рис. 6.5

Отношение im/Jk - коэффициент передачи тока от ветви k к m - равно коэффициенту передачи напряжения uk/em в противоположном направлении - от ветви m к ветви k.

Полученная связь также обусловлена симметрией контурных уравнений пассивных цепей. Проиллюстрируем ее на простейшем примере Г-образного четырехполюсника (рис. 6.6 а,б).

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №72 - открытая онлайн библиотека

Рис. 6.6

Для обеих цепей имеем

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №73 - открытая онлайн библиотека ,

откуда следует, что i2/J1 = u1/e2 = R1/(R1 + R2).

Таким образом, принцип взаимности выражает определенную симметрию между величинами на входе цепи, к которым прикладывается воздействие, и реакцией на это воздействие на выходе цепи. Этот принцип действует только в пассивных цепях (не содержащих управляемых источников), поскольку такие источники вносят несимметрию в матрицу узловых проводимостей или контурных сопротивлений.

Применение принципа взаимности в сочетании с принципом наложения позволяет упростить расчет токов или напряжений в ветвях, содержащих источники ЭДС или тока. Например, если в цепи, включающей два источника ЭДС e1 и e2, требуется определить токи i1 и i2 в ветвях, в которых находятся эти источники, достаточно определить токи i11 и i21 в первой и второй ветвях, вызванные первым источником e1. При рассмотрении действия источника e2 можно ограничиться расчетом тока лишь во второй ветви i22. Поскольку из принципа взаимности следует, чтоi12/e2 = i21/e1, то ток i12 можно определить как i12 = i21e2/e1.

10.Переходные процессы в линейных электрических цепях. Законы коммутации.

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

Законы (правила) коммутации

Первый закон коммутации гласит, что ток iL в цепи с идеальной катушкой индуктивности L в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е. Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №74 - открытая онлайн библиотека

Предположим обратное, что ток iL изменяется скачком, что означает Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №75 - открытая онлайн библиотека . Из этого следует, что напряжение на катушке и мощность, потребляемая магнитным полем катушки должны быть бесконечно большими

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №76 - открытая онлайн библиотека

Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить напряжение u = ¥ и в природе не существует источников энергии, способных развивать бесконечную мощность. Следовательно, наше Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №77 - открытая онлайн библиотека первоначальное предположение является некорректным, и мы

 вправе утверждать, что        , или ток iL в цепи с катушкой L в момент комму- тации не может измениться скачкообразно. Второй закон коммутации гласит, что напряжение uC на выводах иде- ального конденсатора C в момент коммутации не может измениться скачкообразно, т.е. Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №78 - открытая онлайн библиотека .

Предположим обратное, что напряжение uC изменяется скачком, что означает Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №79 - открытая онлайн библиотека . Из этого следует, что ток в конденсаторе и мощность, потребляемая электрическим полем конденсатора должны быть бесконеч- но

Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №80 - открытая онлайн библиотека

Большими. Полученные выводы противоречат физическим законам, так как нельзя получить ток i = ¥ и не существует источников энергии бесконечной мощности. Следовательно, наше первоначальное предположение является некорректным, и мы вправе утверждать, что Расчёт электрической цепи постоянного тока методом контурных токов - №81 - открытая онлайн библиотека  , или напряжение uC на выводах конденсатора С в момент коммутации не может измениться скачкообразно. Законы коммутации используются на практике для определения начальных условий при расчете переходных процессов.

11.Основы теории четырехполюсников и многополюсников. Классификация.