Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки

Рассмотрим вариант потери устойчивости цилиндрической оболочки не по симметричной форме. Опыты показывают, что волны образуются под некоторым углом к образующей. Выделим полоску, расположенную под углом a к образующей см.рис. 18.6.

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №1 - открытая онлайн библиотека

Рис.18.19

На нее приходится давление Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №2 - открытая онлайн библиотека , которое выражается через давление Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №3 - открытая онлайн библиотека в виде:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №4 - открытая онлайн библиотека (18.62)

Боковое давление Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №5 - открытая онлайн библиотека запишется в виде

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №6 - открытая онлайн библиотека (18.63)

Рассмотрим уравнение равновесия элемента полоски оболочки до момента потери устойчивости (см. соотношение (18.45)):

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №7 - открытая онлайн библиотека (18.64)

Здесь b - ширина полоски. В нашем случае дополнительная нагрузка Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №8 - открытая онлайн библиотека в соотношении (18.64) примет вид:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №9 - открытая онлайн библиотека (18.65)

Для подсчета Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №10 - открытая онлайн библиотека и Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №11 - открытая онлайн библиотека применим аппроксимацию дуг a и b квадратичной функцией. Рассмотрим сначала задачу определения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №10 - открытая онлайн библиотека . Вид сбоку на малый элемент дуги a (рис.18.20 в) дает:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №13 - открытая онлайн библиотека

Рис.18.20

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №14 - открытая онлайн библиотека (18.66)

Величина Н находится по соотношению:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №15 - открытая онлайн библиотека (18.67)

Тогда для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №10 - открытая онлайн библиотека имеем аналогичную связь с величиной а:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №17 - открытая онлайн библиотека (18.69)

Отсюда вытекает выражение для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №10 - открытая онлайн библиотека при Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №19 - открытая онлайн библиотека в виде:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №20 - открытая онлайн библиотека (18.70)

Для линии b радиус кривизны получится путем замены q на угол 90-q:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №21 - открытая онлайн библиотека (18.71)

Таким образом, для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №8 - открытая онлайн библиотека получим соотношение

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №23 - открытая онлайн библиотека (18.72)

Подставляя сюда выражения для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №24 - открытая онлайн библиотека в соответствии с (18.62), (18.63) получим

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №25 - открытая онлайн библиотека (18.73)

Таким образом, уравнение равновесия элемента, рассмотренного на рис.18.19, примет вид

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №26 - открытая онлайн библиотека .

Пусть теперь Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №27 - открытая онлайн библиотека достигло критического значения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №28 - открытая онлайн библиотека . Тогда даже при бесконечно малых его возмущениях мы получим большое изменение прогиба на величину Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №29 - открытая онлайн библиотека . При этом на дополнительных изменениях кривизны элемента балки напряжения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №30 - открытая онлайн библиотека создадут добавочные нагрузки Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №31 - открытая онлайн библиотека :

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №32 - открытая онлайн библиотека (18.74)

Уравнение для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №29 - открытая онлайн библиотека примет вид:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №34 - открытая онлайн библиотека (18.75)

Решение ищем в виде

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №35 - открытая онлайн библиотека (18.76)

Здесь Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №36 - открытая онлайн библиотека - неизвестная константа, Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №37 - открытая онлайн библиотека - длина дуги, на протяжении которой имеет место изгиб полоски оболочки.

Подстановка (18.76) в (18.75) дает:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №38 - открытая онлайн библиотека

Варьируя величины Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №39 - открытая онлайн библиотека можно найти минимальное значение Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №40 - открытая онлайн библиотека


Теория пологих оболочек

Оболочки по сравнению с пластинами обладают гораздо большей прочностью и жесткостью. Это связано с тем, что в них нагрузка р частично компенсируется распорными реакциями Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №41 - открытая онлайн библиотека ( на рис. 19.1 показана только Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №42 - открытая онлайн библиотека ).

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №43 - открытая онлайн библиотека

Рис.19.1

Если оболочка пологая, т.е. Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №44 - открытая онлайн библиотека , то положение элемента можно определять декартовыми координатами Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №45 - открытая онлайн библиотека . Кроме того, длина элемента дуги также может вычисляться по простым формулам. Для элемента дуги вдоль в сечении y=const:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №46 - открытая онлайн библиотека . (19.1)

Аналогично для элемента дуги x=const:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №47 - открытая онлайн библиотека . (19.2)

Радиусы кривизны этих дуг можно определить по обычным формулам:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №48 - открытая онлайн библиотека , (19.3)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №49 - открытая онлайн библиотека . (19.4)

Таким образом, можно работать не с дуговыми координатами, а с декартовыми Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №45 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим уравнения равновесия элемента оболочки. Введем напряжения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №51 - открытая онлайн библиотека , которые действуют на уровне срединной поверхности. Аналогично введем Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №52 - открытая онлайн библиотека - деформации, а также перемещения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №53 - открытая онлайн библиотека на этом же уровне.

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №54 - открытая онлайн библиотека

Рис.19.2

Запишем уравнения равновесия в направлениях Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №55 - открытая онлайн библиотека :

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №56 - открытая онлайн библиотека (19.5)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №57 - открытая онлайн библиотека (19.6)

Ввиду пологости и соотношений (19.1), (19.2) используем далее Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №58 - открытая онлайн библиотека вместо Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №59 - открытая онлайн библиотека . В направлении оси Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №60 - открытая онлайн библиотека уравнение будет почти таким же, как уравнение Софи-Жермен, но с добавлением проекций Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №61 - открытая онлайн библиотека на ось Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №60 - открытая онлайн библиотека :

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №63 - открытая онлайн библиотека (19.7)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №64 - открытая онлайн библиотека . (19.8)

Здесь учтено, что кривые y=const, х=const на рис.19.1 имеют отрицательную кривизну, следовательно, Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №65 - открытая онлайн библиотека .

Как следует из (19.7), уравнение для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №66 - открытая онлайн библиотека имеет почти такой же вид, как и для пластин. Отличие лишь в правой части. При этом видно, что эта правая часть меньше, чем р. Таким образом, получаем решение, аналогичное задаче изгиба пластины, но с меньшей внешней нагрузкой. Значит прогибы будут меньше, чем для пластины, следовательно, будут меньше и напряжения.Это показывает, что оболочка гораздо жестче и прочнее, чем пластина.

Для получения уравнения относительно прогиба используется функция напряжений (фактически следующая замена переменных):

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №67 - открытая онлайн библиотека (19.9)

Тогда уравнения (19.5), (19.6) удовлетворяются тождественно.

Кроме уравнений равновесия Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №51 - открытая онлайн библиотека должны удовлетворять условию совместности деформаций. Для их получения надо сначала записать выражения для деформаций. Если т. В имеет только касательное перемещение Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №69 - открытая онлайн библиотека , то

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №70 - открытая онлайн библиотека . (19.10)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №71 - открытая онлайн библиотека

Рис.19.3

Однако при наличии прогиба Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №66 - открытая онлайн библиотека дуга Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №73 - открытая онлайн библиотека дополнительно удлиняется на величину

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №74 - открытая онлайн библиотека . (19.11)

Тогда дополнительная деформация будет (ниже учтено, что угол наклона кривой Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №75 - открытая онлайн библиотека уменьшается, следовательно, Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №76 - открытая онлайн библиотека ):

:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №77 - открытая онлайн библиотека . (19.12)

Суммарно получим

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №78 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом,

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №79 - открытая онлайн библиотека . (19.13)

Аналогично получим

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №80 - открытая онлайн библиотека . (19.14)

При сдвиге изменение прямого угла

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №81 - открытая онлайн библиотека . (19.15)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №82 - открытая онлайн библиотека

Рис.19.4

Видно, что изменение длин у сторон элемента на углы не влияет. Поэтому дополнительных слагаемых в выражении для g (во втором соотношении Коши) не будет:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №83 - открытая онлайн библиотека . (19.16)

Составим следующее выражение:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №84 - открытая онлайн библиотека . (19.17)

После подстановки сюда формул (19.13), (19.14), (19.17) получим, что b связана только с Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №66 - открытая онлайн библиотека :

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №86 - открытая онлайн библиотека . (19.18)

Здесь учтено, что ввиду пологости

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №87 - открытая онлайн библиотека . (19.19)

Они следуют из соотношений дифференциальной геометрии (формулы Петерсона-Кодацци и Гаусса).

Если подставить теперь в (19.17) деформации, выразив их через напряжения по закону Гука, то получим, что функция Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №88 - открытая онлайн библиотека выражается через прогиб Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №66 - открытая онлайн библиотека по соотношению (19.18). Далее, по соотношениям (19.9) получим, что

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №90 - открытая онлайн библиотека . (19.20)

Таким образом, j связана только с Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №66 - открытая онлайн библиотека .

Проделаем эти процедуры, учитывая, что Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №92 - открытая онлайн библиотека .

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №93 - открытая онлайн библиотека . (19.21)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №94 - открытая онлайн библиотека . (19.22)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №95 - открытая онлайн библиотека . (19.23)

После подстановки в (19.18) получим:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №96 - открытая онлайн библиотека . (19.24)

Для исключения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №61 - открытая онлайн библиотека из (19.7) используем уравнение (19.24). Подставим в (19.7) напряжения Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №61 - открытая онлайн библиотека , выраженные через функцию j по формуле (19.8). Затем применим к (19.7) оператор Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №99 - открытая онлайн библиотека . Учтем, что

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №100 - открытая онлайн библиотека .

В результате получим уравнение вида

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №101 - открытая онлайн библиотека . (19.25)

Цилиндрическая панель.

Рассмотрим пример шарнирно опертой цилиндрической панели. Тогда

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №102 - открытая онлайн библиотека . (19.26)

Рассмотрим случай нагрузки р вида

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №103 - открытая онлайн библиотека . (19.27)

Отметим связь R с пролетом a и высотой H:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №104 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №105 - открытая онлайн библиотека . (19.28)

Уравнения (19.7) и (19.24) примут вид

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №106 - открытая онлайн библиотека . (19.29)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №107 - открытая онлайн библиотека . (19.30)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №108 - открытая онлайн библиотека

Рис.19.5

Тогда решение можно искать в виде:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №109 - открытая онлайн библиотека (19.31)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №110 - открытая онлайн библиотека (19.32)

Здесь Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №111 - открытая онлайн библиотека - это прогиб в центре (размерность - м), Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №112 - открытая онлайн библиотека - амплитуда функции напряжений (размерность - Н).

Подставляя в (19.29), (19.30) получим:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №113 - открытая онлайн библиотека (19.33)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №114 - открытая онлайн библиотека (19.34)

Исключим Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №115 - открытая онлайн библиотека из (19.33) с помощью (19.34). Учтем, что

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №100 - открытая онлайн библиотека .

Тогда найдем:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №117 - открытая онлайн библиотека . (19.35)

Подставив в (19.33) найдем

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №118 - открытая онлайн библиотека (19.36)

Отсюда видно, что по сравнению с пластиной прогиб панели может быть значительно меньше

Обозначим решение (19.35) в виде:

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №119 - открытая онлайн библиотека , Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №120 - открытая онлайн библиотека

Тогда из (19.36) находим

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №121 - открытая онлайн библиотека (19.37)

Из (19.37)видно, что для предварительно искривленной пластины с радиусом R перемещения уменьшаются, поскольку Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №122 - открытая онлайн библиотека уменьшается. Это можно назвать эффектом поддерживающим эффектом оболочечной формы. Интересно отметить, что при этом поддерживающий эффект оболочечной формы не зависит от модуля Юнга Е.

Из (19.34) видно также, что при больших R величина Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №123 - открытая онлайн библиотека уменьшается и в пределе в панели не возникает распора, что соответствует физическому смыслу задачи, так как панель в этом случае превращается в пластину.

Сферическая панель.

Далее рассмотрим сферическую панель. Тогда

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №124 - открытая онлайн библиотека . (19.38)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №125 - открытая онлайн библиотека

Рис.19.6

Уравнения (19.7) и (19.24) примут вид

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №126 - открытая онлайн библиотека . (19.39)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №127 - открытая онлайн библиотека . (19.40)

Снова рассмотрим панель под синусоидальной нагрузкой (19.27). Ищем решение в виде

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №109 - открытая онлайн библиотека , Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №110 - открытая онлайн библиотека

Из (19.39), (19.40) вытекают соотношения

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №130 - открытая онлайн библиотека (19.41)

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №131 - открытая онлайн библиотека (19.42)

Таким образом, (19.42) представляет собой связь прогиба в центре Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №111 - открытая онлайн библиотека с амплитудой функции напряжений Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №112 - открытая онлайн библиотека :

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №134 - открытая онлайн библиотека

Из (19.41) получим уравнение для Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №112 - открытая онлайн библиотека :

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №136 - открытая онлайн библиотека

Представим решение в виде

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №137 - открытая онлайн библиотека (19.43)

Снова из (19.43) видно, что при больших R величина Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №123 - открытая онлайн библиотека уменьшается и в пределе в панели не возникает распора, так как панель в этом случае превращается в пластину. Из (19.41) находим Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №111 - открытая онлайн библиотека

Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №140 - открытая онлайн библиотека (19.44)

Из (19.44) видно, что перемещения у панели меньше , чем для пластины таких же размеров (как и для цилиндрической панели), поскольку Несимметричная потеря устойчивости цилиндрической оболочки - №122 - открытая онлайн библиотека уменьшается. Например, при соотношении R/h = 50, R=2a, a=b, прогиб у пластины будет в 20 раз больше чем у панели. При R/h = 50 прогиб у пластины будет больше уже в 80 раз.