Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса называют также методом исключения переменных или двухходовым методом. Метод заключается в последовательном исключении переменных из уравнений системы (первой переменной из второго уравнения, первой и второй из третьего и т.д.) до тех пор, пока в последнем уравнении не окажется равенство вида pхn = q (p,q – числа), откуда естественным образом выражается последняя переменная хn. После этого, двигаясь по системе снизу вверх можно последовательно вычислить остальные неизвестные : хn-1 из предпоследнего уравнения, и т.д. до х1 из первого.

Рассмотрим квадратную систему

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека . (6)

(Обратите внимание: во втором уравнении нет переменной х4 . Это значит, то а24=0. В последнем уравнении коэффициент при х2 , а42= -1, а при х4 , а44=1.

У этой системы коэффициент a11 отличен от нуля. Если бы это условие не выполнялось, то чтобы его получить, нужно было бы переставить местами уравнения, поставив первым то уравнение, у которого коэффициент при x1 не равен нулю.

Проведем следующие преобразования системы:

1) поскольку a11¹0, первое уравнение оставим без изменений;

2) вместо второго уравнения запишем уравнение, получающееся, если из второго уравнения вычесть первое, умноженное на 4;

3) вместо третьего уравнения запишем разность третьего и первого, умноженного на 3;

4) вместо четвертого уравнения запишем разность четвертого и первого, умноженного на 5.

Полученная новая система эквивалентна исходной и имеет во всех уравнениях, кроме первого, нулевые коэффициенты при x1 (это и являлось целью преобразований 1) – 4)):

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека . (7)

Можно доказать, что замена любого уравнения системы новым, получающимся прибавлением к данному уравнению любого другого уравнения системы, умноженного на любое число, является эквивалентным преобразованием системы.

Для проведения этого и дальнейших преобразований удобнее использовать расширенную матрицу системы. Тогда задачей первого этапа метода Гаусса будет приведение расширенной матрицы к трапециевидной форме – виду, когда в последней строке только два последних элемента ненулевые, в предпоследней строке – три и т.д. – см. матрицу и систему 9))

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека . (8)

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1) первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a22 не равен нулю;

2) вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3) четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x2 - из всех уравнений кроме первого и второго:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека .

Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1) первые три строки оставим без изменения, так как a33 ¹ 0;

2) четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №5 - открытая онлайн библиотека .

Полученная матрица соответствует системе

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека . (9)

Из последнего уравнения этой системы получаем x4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x2 = 1, а из первого - x1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x4, затем x3 и т. д.).

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) замена строки матрицы суммой этой строки с любой другой строкой, умноженной на некоторое число.

Если матрица A является расширенной матрицей некоторой системы, и путем ряда элементарных преобразований матрицаAпереводится в матрицу B, являющуюся расширенной матрицей некоторой другой системы, то эти системы эквивалентны.

Назовем квадратную матрицу, у которой на главной диагонали стоят числа, отличные от нуля, а под главной диагональю – нули, треугольной матрицей. Матрица коэффициентов системы (9) – треугольная матрица.

Можно сформулировать общее правило:

Если с помощью элементарных преобразований матрицу коэффициентов квадратной системы можно привести к треугольной матрице, то система совместна и определенна

Метод обратных матриц

Рассмотрим уравнение в матричной форме АХ = В, Где А – матрица коэффициентов системы, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов.

Если бы речь шла об «обычном числовом» уравнении ax = b, a≠0, оно решалось бы умножением обеих частей уравнения на обратный к а элемент а-1 (1/a (делением на а))

1/a· ax = 1/a ·b и тогда x = b/a.

Тогда для уравнения АХ=В,

А-1 АХ = А-1 В, откуда решение находится по формуле Х = А-1 В, где А-1 - матрица, обратная к исходной матрице А

Это рассуждение применимо и к матричным уравнениям AX=B, где В является некоторой матрицей, необязательно вектор-столбцом. Х в таком случае будет просто некоторой матрице (см пример 5.2).

Определение 5.2(6).

Пусть A = (aij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю.

Тогда существует обратная матрица A–1, такая, что АA–1 = A–1А = Е (единичной матрице).

Найти обратную к А матрицу можно по формуле

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека .

Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

Иначе говоря, обратная матрица находится делением на определитель исходной матрицы так называемой союзной матрицы – матрица, транспонированной к матриений (см. опр. 5.2(4)

.

Пример 5.2(1):

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №8 - открытая онлайн библиотека detA = 20 + 6 – 24 = 2;

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №10 - открытая онлайн библиотека .

Из определения обратной матрицы следует, что она существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля.

Свойства обратной матрицы

1. det A-1 = (det A)-1

Действительно, А A-1 = Е, следовательно, detA det A-1 = detE=1, откуда (det A)-1 =

=det A-1

2. Если А и В невырожденны, то их произведение АВ тоже невырожденно и

(АВ)-1 = В-1 А-1, то есть, матрица, обратная к произведению, равна произведению обратных, взятых в обратном порядке.

Действительно, (В-1 А-1)(АВ) = В-1-1 А)В = В-1 В = Е.

Отсюда следует, что В-1 А-1 = (АВ)-1

3.(А-1 )-1 = А

Действительно, (А-1 )-1 есть такая единственная матрица, произведение которой на А-1 равно Е. Этим свойством обладает А

4. (АТ )-1 = (А-1 )Т .

Действительно, переходя в равенстве А А-1 = Е к транспонированным матрицам, получим (АТ )-1 АТ = Е, откуда следует, что (АТ )-1 = (АТ )-1

Пример 5.2(2)

Решить матричное уравнение АХ=В

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека

Будем искать решение в виде Х=А-1 В , т.к. А-1АХ = А-1 В

Найдем определитель матрицы А

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека

Определитель не равен нулю, значит, существуют единственное решение уравнения и матрица, обратная к матрице А. Найдем ее:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека

Теперь найдем решение уравнения

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека