Интегрирование некоторых тригонометрических выражений

Рациональные функции от двух переменных.

Определение: многочленом степени n от двух переменных x, y, называется выражение Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №1 - открытая онлайн библиотека , в котором через Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №2 - открытая онлайн библиотека обозначены некоторые постоянные числа, часть из которых может быть равна нулю, а среди Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №3 - открытая онлайн библиотека есть хотя бы одно число, отличное от нуля.

Рациональной функцией от двух переменных x, y, называется выражение вида: Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №4 - открытая онлайн библиотека , где Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №5 - открытая онлайн библиотека -многочлен степени m, от переменных x, y. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №6 - открытая онлайн библиотека -многочлен степени n, от переменных x, y.

Относительно рациональных функций от двух переменных справедливо утверждение.

Если Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №7 - открытая онлайн библиотека - рациональная функция от двух переменных

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №8 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №9 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №10 - открытая онлайн библиотека - рациональные функции от одной переменной t,

то выражение R( Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №8 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №12 - открытая онлайн библиотека ) Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №13 - открытая онлайн библиотека является рациональной функцией от одной переменной t.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Рассмотрим вопрос об интегрировании выражения Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №14 - открытая онлайн библиотека , где Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №7 - открытая онлайн библиотека - некоторая рациональная функция от двух переменных. Покажем, что Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №16 - открытая онлайн библиотека рационализируется с помощью универсальной тригонометрической подстановкой, Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №17 - открытая онлайн библиотека , выразим величины sin x и cos x через Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №18 - открытая онлайн библиотека :

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №19 - открытая онлайн библиотека

аналогично легко получить выражения cos x:

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №20 - открытая онлайн библиотека ,

видим, что величины sin x и cos x рационально выражаются через переменную t, осталось показать, что дифференциал dx также рационально выражается через переменную t.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №21 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, видим, что рассматриваемый интеграл сводится к рациональной функции от одной переменной.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №22 - открытая онлайн библиотека

Пример: Вычислить интеграл.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №23 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №24 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №25 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №26 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №27 - открытая онлайн библиотека Интегрирование некоторых тригонометрических выражений - №28 - открытая онлайн библиотека

Не смотря на то, что универсальная тригонометрическая подстановка рационализирует широкий класс функций её применение достаточно громадно, часто удается вычислить конкретный интеграл без её применения.