Способ. Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №1 - открытая онлайн библиотека

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Далее делается следующее преобразование:

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №2 - открытая онлайн библиотека

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №3 - открытая онлайн библиотека и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №4 - открытая онлайн библиотека .

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №3 - открытая онлайн библиотека и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №6 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №7 - открытая онлайн библиотека = Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №8 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №9 - открытая онлайн библиотека = Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №8 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №11 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №12 - открытая онлайн библиотека

Итого Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №13 - открытая онлайн библиотека =

= Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №14 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №15 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №16 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №17 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №18 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №19 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №20 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №21 - открытая онлайн библиотека Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №22 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №23 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №24 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №25 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №26 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №27 - открытая онлайн библиотека

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №28 - открытая онлайн библиотека

Второй способ решения того же самого примера.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №29 - открытая онлайн библиотека

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №30 - открытая онлайн библиотека , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.

Пример.

Способ. Метод неопределенных коэффициентов - №31 - открытая онлайн библиотека