Спектры сигналов в дискретной системе

Причина такого изменения спектра с формальной точки зрения становится понятной, если вспомнить связь между изображением решетчатой функции Спектры сигналов в дискретной системе - №1 - открытая онлайн библиотека и преобразованием Лапласа исходной непрерывной функции. Это известная формула Спектры сигналов в дискретной системе - №2 - открытая онлайн библиотека - преобразования

Спектры сигналов в дискретной системе - №3 - открытая онлайн библиотека .

Из этой зависимости следует, что если Спектры сигналов в дискретной системе - №4 - открытая онлайн библиотека , то Спектры сигналов в дискретной системе - №5 - открытая онлайн библиотека , т.е. процесс квантования сопровождается возникновением бесконечного множества дополнительных гармонических составляющих, каждая из которых преобразуется непрерывной частью системы.

Пусть теперь Спектры сигналов в дискретной системе - №6 - открытая онлайн библиотека - некоторая непрерывная преобразуемая по Фурье функция. Рассмотрим спектр соответствующей решетчатой функции. В соответствии с формулой Спектры сигналов в дискретной системе - №7 - открытая онлайн библиотека -преобразования он определится по зависимости

Спектры сигналов в дискретной системе - №8 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, частотный спектр Спектры сигналов в дискретной системе - №9 - открытая онлайн библиотека включает спектр непрерывной функции при n=0 (основной спектр) и боковые дополнительные спектры, смещенные по оси частот на Спектры сигналов в дискретной системе - №10 - открытая онлайн библиотека (рис. 24). Полезная информация содержится лишь в основном спектре. Если спектр входного сигнала не содержит составляющих c частотой, большей половины частоты квантования, т.е.

Спектры сигналов в дискретной системе - №11 - открытая онлайн библиотека , (43)

где Спектры сигналов в дискретной системе - №12 - открытая онлайн библиотека - максимальная частота спектра входного сигнала, то боковые спектры не накладываются друг на друга и спектр дискретного сигнала представляет собой простое повторение основного спектра. Тогда, отфильтровывая высокочастотные составляющие Спектры сигналов в дискретной системе - №13 - открытая онлайн библиотека , можно восстановить входной непрерывный сигнал из его дискретного представления. Если условие (43) не выполняется, дополнительные спектры перекрываются и восстановление непрерывного сигнала без искажений невозможно. Отметим, что этот результат соответствует теореме Котельникова, рассматриваемой в курсе "Математические основы ТАУ".

 
  Спектры сигналов в дискретной системе - №14 - открытая онлайн библиотека

Рис.24

Аналогичные рассуждения можно провести и для частотных характеристик дискретных систем. Перепишем зависимость (39)

Спектры сигналов в дискретной системе - №15 - открытая онлайн библиотека .

Пусть Спектры сигналов в дискретной системе - №16 - открытая онлайн библиотека -максимальная частота существования АФЧХ приведенной непрерывной части, т.е.

Спектры сигналов в дискретной системе - №17 - открытая онлайн библиотека при Спектры сигналов в дискретной системе - №18 - открытая онлайн библиотека .

Тогда, если Спектры сигналов в дискретной системе - №19 - открытая онлайн библиотека , то АФЧХ дискретной системы Спектры сигналов в дискретной системе - №20 - открытая онлайн библиотека имеет вид, аналогичный характеристикам, приведенным на рис.24. Если на вход такой системы подать сигнал, спектр которого удовлетворяет условию (43), то окажется, что выходная величина импульсной САУ будет такой же, как и при подаче соответствующего непрерывного сигнала на вход ПНЧ. В этом случае можно говорить об эквивалентности дискретной системы и ее ПНЧ. Обычно указанные условия выполняются лишь приближенно, при этом спектр непрерывного сигнала при прохождении через дискретную систему искажается. Эти искажения уменьшаются с увеличением частоты квантования Спектры сигналов в дискретной системе - №21 - открытая онлайн библиотека , а также при уменьшении частоты Спектры сигналов в дискретной системе - №16 - открытая онлайн библиотека , т.е. при улучшении фильтрующих свойств непрерывной части системы. Так как увеличение частот квантования не всегда возможно, то обычно используют второй способ уменьшения искажений передаваемого сигнала. При этом для достижения лучшего эффекта на выходе ИЭ могут включаться дополнительные сглаживающие фильтры. Следует, однако, иметь в виду, что уменьшение полосы пропускания ПНЧ приводит к ухудшению динамики системы, поэтому выбор решения, обеспечивающего хорошую фильтрацию и высокую динамику системы, является сложной задачей. Выше отмечалось, что если Спектры сигналов в дискретной системе - №4 - открытая онлайн библиотека , то

Спектры сигналов в дискретной системе - №5 - открытая онлайн библиотека . (44)

Из зависимости (44) следует, что даже при малых частотах входного сигнала на вход ПНЧ поступают составляющие высокой частоты Спектры сигналов в дискретной системе - №25 - открытая онлайн библиотека , т.е. происходит перенос низкочастотного сигнала в высокочастотную область. В правильно спроектированных САУ ПНЧ фильтрует высокочастотные составляющие и это явление не сказывается на работе системы. Значительно более неблагоприятным оказывается явление переноса высокочастотного сигнала в низкочастотную область. Если на вход системы действует сигнал высокой частоты (например, помеха), то после ИЭ появляются составляющие с частотами Спектры сигналов в дискретной системе - №26 - открытая онлайн библиотека Отдельные составляющие этого набора частот могут попасть в полосу пропускания ПНЧ системы, и тогда в замкнутой САУ при высокочастотном входном воздействии возникнут низкочастотные движения, что крайне нежелательно, так как они накладываются на полезный сигнал. Для устранения этого явления следует использовать фильтры, включая их перед импульсным элементом. При этом уменьшается амплитуда помехи, приходящей на импульсный элемент.

Несмотря на то, что АФЧХ дискретной системы не дают полной информации о ее выходном сигнале, они позволяют исследовать устойчивость системы, оценивать качественные показатели САУ, проводить синтез корректирующих устройств. Методы анализа и синтеза цифровых СУ, основанные на использовании частотных характеристик, наиболее часто применяются как инженерные методы расчета таких систем.