Спектральный анализ сигналов

Любой сигнал x(t) математически может быть представлен набором простейших функций Спектральный анализ сигналов - №1 - открытая онлайн библиотека (подобно разложению числа на сомножители). Главное требование к простейшим функциям – их единственность (уникальность) и непохожесть на другие функции. Это свойство исключительности набора простейших функций отражается в математике свойством ортогональности: (на некотором интервале (0,Т)):

Спектральный анализ сигналов - №2 - открытая онлайн библиотека .

Разложение сигнала на простейшие функции представляется рядом:

Спектральный анализ сигналов - №3 - открытая онлайн библиотека .

Коэффициенты ряда – Сk выбираются из условия минимума среднеквадратичной погрешности по отношению к исходному сигналу:

Спектральный анализ сигналов - №4 - открытая онлайн библиотека

Сk находятся по формуле (с учетом нормировки)

Спектральный анализ сигналов - №5 - открытая онлайн библиотека .

При увеличении членов ряда n к бесконечности (∞) погрешность отображения исходной функции x(t) становится сколь угодно малой. Тогда такой ряд называют обобщенным рядом Фурье.

В качестве простейших ортогональных функций часто выбирают тригонометрический ряд:

Спектральный анализ сигналов - №6 - открытая онлайн библиотека . (1.1)

Совокупность коэффициентов ряда {Ck} называют спектром амплитуд или амплитудно-частотным спектром, а совокупность {jk} - спектром фаз или фазово-частотным спектром. С учетом:

Спектральный анализ сигналов - №7 - открытая онлайн библиотека (1.2)

и

Спектральный анализ сигналов - №8 - открытая онлайн библиотека Спектральный анализ сигналов - №9 - открытая онлайн библиотека

получаем другую форму ряда Фурье:

Спектральный анализ сигналов - №10 - открытая онлайн библиотека , (1.3)

где коэффициенты ak и bk определяется как:

Спектральный анализ сигналов - №11 - открытая онлайн библиотека ; Спектральный анализ сигналов - №12 - открытая онлайн библиотека ; Спектральный анализ сигналов - №13 - открытая онлайн библиотека . (1.4)

Коэффициенты ak называют косинусной (четной) составляющей, bk - синусной (нечетной).

Разложение сигнальной функции на "простейшие" составляющие называют спектральным анализом или спектральным разложением. В тригонометрическом ряде Фурье в качестве "простейшей" функции принято синусоидальное (косинусоидальное) колебание одной частоты, называемое "гармоническим". Поэтому составляющие ряда Фурье называют "гармоники"; имея в виду, что ряд состоит из кратных -k- частот, т.е. кратных гармоник (первая гармоника, вторая гармоника … сотая гармоника …). Так как интервал ортогональности 0,Т – совпадает с периодом Т = 2p/w1, то определение коэффициентов ряда производится в пределах интервала ортогональности (-Т/2, Т/2).

Рассмотрим пример спектрального разложения периодического колебания типа "меандр". Меандр – греческое слово, обозначающее "орнамент" (рис. 1.3).

 
  Спектральный анализ сигналов - №14 - открытая онлайн библиотека

а) б)

Рис 1.3

Спектральный анализ сигналов - №15 - открытая онлайн библиотека Спектральный анализ сигналов - №16 - открытая онлайн библиотека .

Выбор начала координат а) или б) определит состав гармонического разложения: по четным коэффициентам или не четным, это определяется видом функций x(t) в пределах (-Т/2, Т/2). В случае выбора начала координат по а) функция x(t) оказывается нечетной, т.е. х(-Т/2) = -х(Т/2), при этом в ряде Фурье остаются только члены bk, определяемые нечетной функций синуса. Составляющие ak оказываются при этом, равными нулю ak = 0. В случае выбора начала координат по б) функция x(t) оказывается четной, и ряд Фурье будет определяться только составляющими ak, bk = 0. Постоянная составляющая, как видно из графика, равна нулю. Для случая а):

Спектральный анализ сигналов - №17 - открытая онлайн библиотека

с учетом, что Спектральный анализ сигналов - №18 - открытая онлайн библиотека и Спектральный анализ сигналов - №19 - открытая онлайн библиотека

Спектральный анализ сигналов - №20 - открытая онлайн библиотека .

Тогда ряд Фурье:

Спектральный анализ сигналов - №21 - открытая онлайн библиотека

или с учетом w = 2πf

Спектральный анализ сигналов - №22 - открытая онлайн библиотека . (1.5)

Полученный спектральный состав можно представить графически (рис. 1.4).

 
  Спектральный анализ сигналов - №23 - открытая онлайн библиотека

Рис. 1.4

Спектральный анализ сигналов - №24 - открытая онлайн библиотека Приведенный график называют "спектром". Синтез исходной временной функции по спектральным составляющим понятен из рис. 1.5.

Рис. 1.5