Спектральное представление периодических сигналов

Как известно, разложение периодического сигнала по базису тригонометрических функций – это разложение его в ряд Фурье.

Разложение сигнала в ряд Фурье называется спектром сигнала.

В общем случае периодический сигнал содержит независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, или гармоник, с частотами, кратными основной частоте последовательности.

Графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала называется спектральной диаграммой. По горизонтальной оси откладываются частоты гармоник, а по вертикали – амплитуды (амплитудная диаграмма) или начальные фазы (фазовая диаграмма).

При разложении в комплексный ряд Фурье:

Спектральное представление периодических сигналов - №1 - открытая онлайн библиотека , (3.1)

где Спектральное представление периодических сигналов - №2 - открытая онлайн библиотека .

Спектр сигнала содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причём С-k = Сk* (* обозначено комплексно-сопряжённое число).

Между коэффициентами комплексного и тригонометрического ряда существует связь:

Спектральное представление периодических сигналов - №3 - открытая онлайн библиотека . (3.2)

Шириной спектра сигнала ΔFэназывается полоса частот, в пределах которой заключена основная доля энергии сигнала.

В качестве примера рассчитаем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов c амплитудой А:

Спектральное представление периодических сигналов - №4 - открытая онлайн библиотека

Рис. 3.1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Определим коэффициенты разложения в ряд Фурье Cк:

Спектральное представление периодических сигналов - №5 - открытая онлайн библиотека

Спектральное представление периодических сигналов - №6 - открытая онлайн библиотека , т.к. подынтегральная функция – нечетная.

Пусть Т = 2t, тогда коэффициенты ak равны:

a0 = А, ak = 2А/ kp (sin kp/2), при k > 0.

Итак, временная диаграмма периодической последовательности импульсов показана на рис. 3.1. Спектр этой последовательности дискретный и показан на рис. 3.2.

Спектральное представление периодических сигналов - №7 - открытая онлайн библиотека

Рис. 3.2. Спектр периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Ширина спектра сигнала равна, в данном случае, ΔFэ =2p/t.