Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ

Процессы, происходящие в САУ, в общем случае описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены лишь в отдельных редких случаях. Однако для достаточно большого числа систем эти уравнения с приемлемой для решения практических задач точностью могут быть заменены линеаризованными.

Рассмотрим принцип линеаризации на примере системы, у которой входной Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №1 - открытая онлайн библиотека и выходной Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №2 - открытая онлайн библиотека сигналы связаны нелинейной статической зависимостью Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №3 - открытая онлайн библиотека . Пусть в установившемся режиме величина входного сигнала равна Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №4 - открытая онлайн библиотека и его отклонения от этого значения в переходных процессах достаточно малы.

Разложив нелинейную зависимость Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №3 - открытая онлайн библиотека в ряд Тейлора в окружности точки установившегося режима и, отбросив члены ряда выше первого порядка малости, получим следующую приближенную зависимость:

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №6 - открытая онлайн библиотека , (2.1)

где Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №7 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №8 - открытая онлайн библиотека - значение производной функции Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №9 - открытая онлайн библиотека по Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №10 - открытая онлайн библиотека при подстановке в выражение этой производной значения Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №10 - открытая онлайн библиотека = Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №12 - открытая онлайн библиотека .

Рис. 2.1. Линеаризация статической нелинейности  
Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №13 - открытая онлайн библиотека
Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №14 - открытая онлайн библиотека
Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №15 - открытая онлайн библиотека
Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №16 - открытая онлайн библиотека
Выражение (2.1) можно переписать в виде:

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №17 - открытая онлайн библиотека , (2.2)

где Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №18 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №19 - открытая онлайн библиотека ; Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №20 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №21 - открытая онлайн библиотека ;

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №22 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №8 - открытая онлайн библиотека .

Проведенная линеаризация имеет простую графическую интерпретацию: она соответствует (рис. 2.1) замене действительной нелинейной характеристики касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент k в выражении (2.2) равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №10 - открытая онлайн библиотека . Поэтому его величина может быть найдена простым графическим построением без нахождения аналитического выражения нелинейной зависимости Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №3 - открытая онлайн библиотека и ее производной.

В более общем случае, система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим производные по времени входного и выходного сигналов:

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №26 - открытая онлайн библиотека .

(2.3)

Разложив нелинейную функцию (2.3) в ряд Тейлора в точке установившегося движения, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращения переменных:

Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №27 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №28 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №29 - открытая онлайн библиотека ….+ Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №30 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №31 - открытая онлайн библиотека

+…… Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №32 - открытая онлайн библиотека ….. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №33 - открытая онлайн библиотека , (2.4)

где Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №34 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №35 - открытая онлайн библиотека .., Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №36 - открытая онлайн библиотека Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ - №37 - открытая онлайн библиотека и т.д. – значения производных функции (2.3) полученные при подстановке значений входного и выходного сигналов, соответствующих установившемуся режиму.

Следовательно, процедура линеаризации нелинейных систем дает возможность описать их линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях. Очевидно, что допустимость такой линеаризации ограничена требованием к незначительности отклонений сигналов от их установившихся значений. Кроме того, поскольку такая линеаризация основана на разложении в ряд Тейлора, она применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям.

Нелинейные звенья и системы, не удовлетворяющие этому требованию, называются существенно нелинейными. К существенно нелинейным звеньям относятся звенья с прерывистыми характеристиками, например, звенья с релейными характеристиками или неоднозначными характеристиками типа петли гистерезиса.