Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения

В § 4.3 по ходу рассмотрения уже отмечались некоторые соотноше­ния между правилами решения, следующими из того или иного принци­па предпочтения. Для более полного уяснения их относительного каче­ства рассмотрим ряд дополнительных соотношений. Заметим еще раз, что, конечно, самым хорошим является равномерно наилучшее правило решения, которое при любом Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №1 - открытая онлайн библиотека P дает такой же риск, как байесово правило решения с известным Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека . Если равномерно наилучшее правило существует, то оно может быть найдено при использовании любого из рассмотренных принципов предпочтения.

Между минимаксиминным правилом решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №3 - открытая онлайн библиотека и минимакс­ным правилом решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №4 - открытая онлайн библиотека существует соотношение

Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №5 - открытая онлайн библиотека , (4.4.1)

которое следует непосредственно из определения этих решений. Соотно­шение между ними показано на рис. 4.4. При 'некоторых Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека риск минимаксиминного правила решения превышает риск минимаксного правила, а при некоторых - имеет меньшие значения.

Аналогичному соотношению удовлетворяет и правило решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №7 - открытая онлайн библиотека , получаемое минимизацией усредненного риска при любой мере Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №8 - открытая онлайн библиотека :

Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №9 - открытая онлайн библиотека . (4.4.2)

Типичное поведение риска Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №10 - открытая онлайн библиотека по отношению к риску минимакс­ного правила решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №11 - открытая онлайн библиотека в зависимости от Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека показано на рис. 4.4, где приведена также зависимость от Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека минимального байесова риска Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №14 - открытая онлайн библиотека , соответствующего известному Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека .

В то же время правила решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №7 - открытая онлайн библиотека и Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №17 - открытая онлайн библиотека удовлетворяют при любой мере Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №8 - открытая онлайн библиотека соотношению

Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №19 - открытая онлайн библиотека , (4.4.3)

которое следует из определения правила решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №7 - открытая онлайн библиотека . Равенство в (4.4.3) может достигаться только для наименее предпочтительной в со­ответствии с определением (4.3.10) меры Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №8 - открытая онлайн библиотека . Из соотношений (4.4.2), (4.4.3) следует, что максимум риска по Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №1 - открытая онлайн библиотека P для правила решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №7 - открытая онлайн библиотека не меньше, чем для минимаксного, а усредненное значение риска не боль­ше. Особый интерес представляет слу­чай, когда в (4.4.2) достигается ра­венство, то есть риск правила решения Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №7 - открытая онлайн библиотека не превосходит риска минимаксного правила. При этом очевидно, что правило Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №7 - открытая онлайн библиотека равномерно относительно Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека лучше (по крайней мере не хуже) минимаксного правила, и следует отдать ему предпочтение. Это обстоятельство является хорошим доводом в пользу принципа минимизации усредненного риска.

Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №27 - открытая онлайн библиотека

Рис. 4.4. Зависимость среднего риска от Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения - №2 - открытая онлайн библиотека для различных правил решения: 1 - байесово; 2 - минимаксное; 3 – минимаксиминное; 4 – минимизации усредненного риска