Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ (СЛАУ)

В этой главе будут рассмотрены линейные системы алгебраических уравнений. Эти СЛАУ появляются во многих областях прикладной математики. Например, при нахождении приближенных решений дифференциальных и интегральных уравнений, которые описывают различные процессы в физике, химии, биологии и экономике. Размерность СЛАУ, как правило, является большой и зависит от сложности решаемой проблемы. Так, в теории электрических сетей количество уравнений равно количеству ячеек сети и т.д.

В общем виде система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn записывается так:

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №1 - открытая онлайн библиотека (1)

Коэффициенты при неизвестных Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №2 - открытая онлайн библиотека обозначаются через aij, где первый индекс i указывает номер уравнения, в котором находится данный коэффициент, а второй индекс j - номер неизвестного, при котором находится данный коэффициент.

Например, коэффициент a45 находится в четвертом уравнении при неизвестном x5.

Числа b1, b2, ..., bm в системе (1) называются свободнымичленами в СЛАУ (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Решением СЛАУ (1) называется любая совокупность чисел c1, c2, ..., cn, которая будучи подставленной на место неизвестных x1, x2, ..., xn в уравнения данной системы , обращает все эти уравнения в тождество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если не имеет решения.

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется

определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет несколько решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Так следующие элементарные преобразования переводят данную СЛАУ в эквивалентную:

а) перестановка двух уравнений системы;

б) умножение обеих частей уравнения системы на любое, отличное от нуля число;

в) прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.СЛАУ, в которой все свободные члены b1, b2, ..., bn равны нулю называется однородной СЛАУ.

Матрицей A СЛАУ (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этой системы

A= Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №3 - открытая онлайн библиотека . (2)

Используя понятие матрицы A СЛАУ (1) и матриц-столбцов, введенных соотношениями:

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №4 - открытая онлайн библиотека (3)

запишем систему (1) следующим образом

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №5 - открытая онлайн библиотека (4)

Из вида записи (4) следует, что первая компонента вектора Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №6 - открытая онлайн библиотека вычисляется как произведение первой строки матрицы A на вектор-столбец Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №7 - открытая онлайн библиотека .

Приравнивая полученное выражение первой компоненте матрицы-столбца B, получим первое уравнение системы (1)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

Второе уравнение СЛАУ (1) получается, если вторую строку матрицы A умножить на матрицу-столбец Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №7 - открытая онлайн библиотека и приравнять полученное соотношение второму элементу матрицы Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №9 - открытая онлайн библиотека и т.д.

Пример. Записать в матричной форме следующую СЛАУ:

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №10 - открытая онлайн библиотека

ÑМатрица A для этой системы имеет вид

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №11 - открытая онлайн библиотека

а матрицы-столбцы запишутся так

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №12 - открытая онлайн библиотека

Тогда матричная запись исходной системы будет иметь вид

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №13 - открытая онлайн библиотека

или

Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется - №5 - открытая онлайн библиотека

§2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ