Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Собственным вектором линейного оператора j называется ненулевой вектор Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №1 - открытая онлайн библиотека , если существует действительное число l, такое, что Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №2 - открытая онлайн библиотека Число l называется собственным числом оператора j, этому числу соответствует собственный вектор Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №1 - открытая онлайн библиотека . Например, при осевой симметрии плоскости относительно прямой l собственными будут: 1) все векторы, параллельные прямой l; 2) все векторы, перпендикулярные прямой l, причем, l1=1, а l2=–1 – собственные числа.

Рассмотрим нахождение собственных чисел и соответствующих им собственных векторов данного линейного оператора. Пусть Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №1 - открытая онлайн библиотека – собственный вектор, соответствующий собственному числу l оператора j, заданного матрицей Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №5 - открытая онлайн библиотека в векторном пространстве V2, базис которого Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №6 - открытая онлайн библиотека . Тогда Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №7 - открытая онлайн библиотека ; пусть Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №8 - открытая онлайн библиотека .

Но Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №9 - открытая онлайн библиотека

Ненулевые решения этой однородной системы существуют, если

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №10 - открытая онлайн библиотека .

Это уравнение (относительно l) называется характеристическим. Его корни – собственные числа. Найдя li и подставив их в однородную систему, вычислим координаты собственных векторов, соответствующих собственным числам li. Аналогично можно работать и в пространстве V3, V4 и т.д.

Замечание: если собственный вектор Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №1 - открытая онлайн библиотека - соответствует собственному числу l, то любой вектор a× Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №1 - открытая онлайн библиотека – тоже собственный и соответствует этому же собственному числу l, действительно: Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №13 - открытая онлайн библиотека – собственный вектор, соответствующий числу l.

Пример:

Пусть линейный оператор j задан своей матрицей Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №14 - открытая онлайн библиотека . Найти его собственные числа и собственные векторы.

1. Вычислим корни характеристического уравнения Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №15 - открытая онлайн библиотека . l1=–1, l2=6.

2. Найдём собственные векторы, соответствующие l1=–1.

Для этого числа однородная система (на соответствующий собственный вектор), имеет вид: Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №16 - открытая онлайн библиотека Þ{x+y=0, т.е. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №17 - открытая онлайн библиотека =(х; –х) – их бесчисленное множество (т.к. х – любое, кроме 0). В частности, если х=1, то Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №17 - открытая онлайн библиотека =(1; –1).

Далее так же находим собственный вектор и для l2=6.

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №19 - открытая онлайн библиотека , т.е. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №20 - открытая онлайн библиотека , здесь Y¹0. В частности, если у=5, то Собственные числа и собственные векторы линейного оператора - №21 - открытая онлайн библиотека =(2; 5).