Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения

До сих пор здесь рассматривалась консервативная система, в которой отсутствуют потери энергии колебаний. В действительности же при всех колебаниях системы в ней имеет место трение, при котором энергия колебаний превращается в тепло и рассеивается в окружающее пространство. Более того, в тех случаях, когда конструкторы заинтересованы в быстром уменьшении амплитуд колебания в системе, они в конструкциях, подверженных колебаниям, специально устанавливают гасители колебаний. В частности, в рессорном подвешивании вагонов всегда предусматривается гашение колебаний тем или иным путем, а чаще всего прямой постановкой специальных гасителей колебаний. Описание конструкций гасителей колебаний в рессорном подвешивании вагонов дано в курсе «Конструкции вагонов».

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №1 - открытая онлайн библиотека Сначала рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы и гидравлическим гасителем колебаний (сила пропорциональна скорости).

Уравнение движения:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №2 - открытая онлайн библиотека (2.1)

Разрешим это уравнение относительно старшей производной и приведем к нормальной форме – к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка.

Для этого введем обозначения: z=q1, Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №3 - открытая онлайн библиотека =q2.

В нормальной форме математическая модель имеет вид: Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №4 - открытая онлайн библиотека (2.2)

Решение этой системы ищем в виде следующих функций: Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №5 - открытая онлайн библиотека Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №6 - открытая онлайн библиотека (2.3)

Подставив функции (2.3) в систему (2.2), перенеся все члены влево и прировняв коэффициенты при Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №7 - открытая онлайн библиотека к нулю, получим следующую систему однородных алгебраических уравнений:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №8 - открытая онлайн библиотека (2.4)

Система (2.4) имеет ненулевое решение относительно неизвестных A1 и A2 только в случае равенства нулю её определителя:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №9 - открытая онлайн библиотека (2.5)

Полученный определитель называется характеристическим. Раскрыв его получим характеристическое уравнение:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №10 - открытая онлайн библиотека

Если s равно одному из корней характеристического уравнения, то условие (2.5) будет выполнено. Корни этого уравнения при условии - Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №11 - открытая онлайн библиотека Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №12 - открытая онлайн библиотека являются комплексно-сопряженными числами и определяются выражениями - Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №13 - открытая онлайн библиотека (2.6)

Величина параметра β называется критической, если её определить из условия равенства нулю подкоренного выражения в (2.6),то есть

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №14 - открытая онлайн библиотека или Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №15 - открытая онлайн библиотека , где Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №16 - открытая онлайн библиотека – собственная частота одноосного вагона без трения в подвешивании.

Введем понятие коэффициента относительного демпфирования D как отношение параметра β к его критической величине: D=β/βкр. Используя понятия и выражения, определяющие λ и D, выражения для корней характеристического уравнения приведем к виду

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №17 - открытая онлайн библиотека (2.7)

Используя выражения (2.7), решение исходного уравнения (2.1) представим суммой частных решений, соответствующих s1 и s2:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №18 - открытая онлайн библиотека

где Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №19 - открытая онлайн библиотека , Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №20 - открытая онлайн библиотека – начальные условия (смещение и скорость смещения кузова при t=0).

Если принять начальную скорость равной нулю ( Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №21 - открытая онлайн библиотека =0), и сложить гармонические составляющие процесса, то решение примет вид

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №22 - открытая онлайн библиотека

(2.8)

Введя обозначения:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №23 - открытая онлайн библиотека Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №24 - открытая онлайн библиотека Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №25 - открытая онлайн библиотека

(2.9)

решение можно представить в более компактной форме

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №26 - открытая онлайн библиотека (2.10)

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №27 - открытая онлайн библиотека
Графически процесс затухающих колебаний соответствующих решению (2.10) представлен на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Процесс затухающих колебаний

Скорость затухания этого процесса оценивается следующими его характеристиками: коэффициентом затухания – ψ, равным отношению амплитудных отклонений процесса, сдвинутых по времени на один период и логарифмическим декрементом – δ. Выражения, определяющие эти характеристики можно представить в виде

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №28 - открытая онлайн библиотека , (2.11)

Из соотношений (2.11) следует, что амплитудные отклонения кузова в прцессе затухающих колебаний изменяются по закону геометрической прогрессии, то есть последующее отклонение равно произведению предыдущего на постоянное число – знаменатель прогрессии. Если рассматривать амплитудные отклонения в одном направлении от положения равновесия, то знаменателем прогрессии будет - Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №29 - открытая онлайн библиотека , если в обоих – Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №30 - открытая онлайн библиотека . Соотношения между членами прогрессии в этих случаях будут представляться, соответственно:

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №31 - открытая онлайн библиотека Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №32 - открытая онлайн библиотека

или (2.12)

Коэффициентом затухания можно пользоваться для оценки скорости затухания процесса, однако, более часто для этой цели пользуются логарифмическим декрементом – δ,

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №33 - открытая онлайн библиотека =δ. (2.13)

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №34 - открытая онлайн библиотека Простейшие преобразования дают возможность получить следующие соотношения между δ и D:

. (2.14)

Разрешив выражение (2.14) относительно D будем иметь

Собственные колебания кузова на рессорах с линейными упругими элементами с гасителем колебаний вязкого трения - №35 - открытая онлайн библиотека (2.15)

Таким образом, "вязкое" трение существенно влияет на следующие динамические свойства вагона (свойства вагона как динамической системы):

Скорость затухания свободных колебаний;

Величину частоты свободных колебаний (собственной частоты).