Собственные значения и собственные векторы

линейного преобразования.

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор Собственные значения и собственные векторы - №1 - открытая онлайн библиотека L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

A Собственные значения и собственные векторы - №2 - открытая онлайн библиотека .

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору Собственные значения и собственные векторы - №3 - открытая онлайн библиотека .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе Собственные значения и собственные векторы - №4 - открытая онлайн библиотека , Собственные значения и собственные векторы - №5 - открытая онлайн библиотека ,…, Собственные значения и собственные векторы - №6 - открытая онлайн библиотека имеет матрицу А = Собственные значения и собственные векторы - №7 - открытая онлайн библиотека , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l1, l2, … ,ln уравнения:

Собственные значения и собственные векторы - №8 - открытая онлайн библиотека

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна Собственные значения и собственные векторы - №9 - открытая онлайн библиотека . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

Собственные значения и собственные векторы - №9 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №11 - открытая онлайн библиотека ; Собственные значения и собственные векторы - №12 - открытая онлайн библиотека

в некотором базисе Собственные значения и собственные векторы - №13 - открытая онлайн библиотека .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А Собственные значения и собственные векторы - №2 - открытая онлайн библиотека .

Собственные значения и собственные векторы - №15 - открытая онлайн библиотека или Собственные значения и собственные векторы - №16 - открытая онлайн библиотека

Т.к. собственный вектор Собственные значения и собственные векторы - №3 - открытая онлайн библиотека ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Собственные значения и собственные векторы - №18 - открытая онлайн библиотека

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор Собственные значения и собственные векторы - №3 - открытая онлайн библиотека1, х2) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если Собственные значения и собственные векторы - №3 - открытая онлайн библиотека - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, Собственные значения и собственные векторы - №21 - открытая онлайн библиотека . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направлениеили собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l1 и l2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l1 = l2 = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: Собственные значения и собственные векторы - №22 - открытая онлайн библиотека . Эта система удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Квадратичные формы.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2

Ф(х1, х2) = а11 Собственные значения и собственные векторы - №23 - открытая онлайн библиотека

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1 и х2.

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1, х2 и х3

Собственные значения и собственные векторы - №24 - открытая онлайн библиотека

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = Собственные значения и собственные векторы - №25 - открытая онлайн библиотека . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис Собственные значения и собственные векторы - №26 - открытая онлайн библиотека . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х1, х2.

Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11 Собственные значения и собственные векторы - №23 - открытая онлайн библиотека , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

Общий элементпоследовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

4) Частное последовательностей: Собственные значения и собственные векторы - №28 - открытая онлайн библиотека при {yn} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

Собственные значения и собственные векторы - №29 - открытая онлайн библиотека

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn £ M.

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³ M

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Собственные значения и собственные векторы - №30 - открытая онлайн библиотека

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Теорема. Если xn ® a, то Собственные значения и собственные векторы - №31 - открытая онлайн библиотека .

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Предел функции в точке.

Собственные значения и собственные векторы - №32 - открытая онлайн библиотека y f(x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке: Собственные значения и собственные векторы - №33 - открытая онлайн библиотека

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то Собственные значения и собственные векторы - №34 - открытая онлайн библиотека - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то Собственные значения и собственные векторы - №35 - открытая онлайн библиотека называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Собственные значения и собственные векторы - №36 - открытая онлайн библиотека у

f(x)

А2

А1

0 a x

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство

Собственные значения и собственные векторы - №37 - открытая онлайн библиотека

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают: Собственные значения и собственные векторы - №38 - открытая онлайн библиотека

Графически можно представить:

 
  Собственные значения и собственные векторы - №39 - открытая онлайн библиотека

y y

A A

0 0

x x

Собственные значения и собственные векторы - №40 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №41 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №42 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №43 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №44 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №45 - открытая онлайн библиотека Собственные значения и собственные векторы - №46 - открытая онлайн библиотека y y

A A

 
  Собственные значения и собственные векторы - №47 - открытая онлайн библиотека

0 0

x x

Аналогично можно определить пределы Собственные значения и собственные векторы - №48 - открытая онлайн библиотека для любого х>M и

Собственные значения и собственные векторы - №49 - открытая онлайн библиотека для любого х<M.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Собственные значения и собственные векторы - №50 - открытая онлайн библиотека , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2. Собственные значения и собственные векторы - №51 - открытая онлайн библиотека

Теорема 3. Собственные значения и собственные векторы - №52 - открытая онлайн библиотека

Следствие. Собственные значения и собственные векторы - №53 - открытая онлайн библиотека

Теорема 4. Собственные значения и собственные векторы - №54 - открытая онлайн библиотека при Собственные значения и собственные векторы - №55 - открытая онлайн библиотека

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и Собственные значения и собственные векторы - №33 - открытая онлайн библиотека , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и Собственные значения и собственные векторы - №57 - открытая онлайн библиотека , то и Собственные значения и собственные векторы - №58 - открытая онлайн библиотека .

Определение. Функция f(x) называется ограниченнойвблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х®а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Бесконечно малые функции.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если Собственные значения и собственные векторы - №59 - открытая онлайн библиотека .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.