Со стальным сердечником

Применение метода эквивалентных синусоид позволяет использовать векторные диаграммы при анализе процессов в катушке с ферромагнитным сердечником.

Для построения векторной диаграммы воспользуемся уравнением (2.7). За исходный принимаем вектор магнитного потока Со стальным сердечником - №1 - открытая онлайн библиотека .

При этом учтем, что напряжение Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека уравновешивает ЭДС Со стальным сердечником - №3 - открытая онлайн библиотека , наводимую в обмотке w основным магнитным потоком Со стальным сердечником - №4 - открытая онлайн библиотека :

Со стальным сердечником - №5 - открытая онлайн библиотека .

Так как основной поток синусоидален Со стальным сердечником - №6 - открытая онлайн библиотека , то эта ЭДС будет

Со стальным сердечником - №7 - открытая онлайн библиотека (2.9)

Из выражения (2.9) следует, что ЭДС Со стальным сердечником - №8 - открытая онлайн библиотека отстает от магнитного потока на угол Со стальным сердечником - №9 - открытая онлайн библиотека , а напряжение Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека опережает ток на угол Со стальным сердечником - №9 - открытая онлайн библиотека , т.е. находится в противофазе с Со стальным сердечником - №8 - открытая онлайн библиотека .

Построение векторной диаграммы (рис.2.14) в электромагнитных устройствах обычно начинают с потока Со стальным сердечником - №4 - открытая онлайн библиотека , т.к. он является общим для всех элементов. От вектора потока под углом Со стальным сердечником - №9 - открытая онлайн библиотека откладываем ЭДС Со стальным сердечником - №8 - открытая онлайн библиотека и в противофазе ей - напряжение Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека .

Со стальным сердечником - №17 - открытая онлайн библиотека Далее откладываем ток Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека под углом a к вектору потока Со стальным сердечником - №1 - открытая онлайн библиотека . Угол a называется углом потерь и определяется шириной петли гистерезиса, т.е. коэрцитивной силой.

Из конца вектора Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека проводим вектор Со стальным сердечником - №21 - открытая онлайн библиотека параллельно току Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека и под углом Со стальным сердечником - №9 - открытая онлайн библиотека в сторону опережения из конца вектора Со стальным сердечником - №21 - открытая онлайн библиотека строим вектор Со стальным сердечником - №25 - открытая онлайн библиотека . Соединив начало вектора Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека с концом вектора Со стальным сердечником - №25 - открытая онлайн библиотека , получим вектор напряжения сети Со стальным сердечником - №28 - открытая онлайн библиотека .

Порядок построения векторной диаграммы можно записать в виде

Со стальным сердечником - №29 - открытая онлайн библиотека .

При анализе процессов в катушке со стальным сердечником возможны два подхода.

1. Со стальным сердечником - №30 - открытая онлайн библиотека Разложим вектор напряжения Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека на активную Со стальным сердечником - №32 - открытая онлайн библиотека и реактивную Со стальным сердечником - №33 - открытая онлайн библиотека составляющие. Для этого спроецируем вектор Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека на вектор тока Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека (рис.2.15). Активная составляющая Со стальным сердечником - №32 - открытая онлайн библиотека совпадает по фазе с током Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека , а реактивная Со стальным сердечником - №33 - открытая онлайн библиотека - опережает ток Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека по фазе на угол 90°.

Аналитически величины Со стальным сердечником - №32 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №33 - открытая онлайн библиотека можно записать в виде:

Со стальным сердечником - №42 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №43 - открытая онлайн библиотека Реактивную мощность Со стальным сердечником - №44 - открытая онлайн библиотека называют намагничивающей мощностью.

Таким образом, если в уравнении (2.7), записанном для действующих значений, напряжение Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека представить в виде суммы двух составляющих получим последовательную схему замещения дросселя (рис.2.16).

2. Со стальным сердечником - №46 - открытая онлайн библиотека Разложим вектор тока Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека на активную Со стальным сердечником - №48 - открытая онлайн библиотека и реактивную Со стальным сердечником - №49 - открытая онлайн библиотека составляющие. Для этого спроецируем вектор тока Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека на напряжение Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека (рис.2.17). На векторной диаграмме составляющая Со стальным сердечником - №52 - открытая онлайн библиотека находиться в фазе с вектором Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека , Со стальным сердечником - №54 - открытая онлайн библиотека - отстает по фазе от вектора Со стальным сердечником - №2 - открытая онлайн библиотека на угол 90° и совпадает по фазе с вектором Со стальным сердечником - №1 - открытая онлайн библиотека . Составляющая Со стальным сердечником - №54 - открытая онлайн библиотека носит название тока намагничивания.

Аналитически эти величины можно записать в виде

Со стальным сердечником - №58 - открытая онлайн библиотека

где Со стальным сердечником - №59 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №60 - открытая онлайн библиотека - соответственно активная и реактивная проводимости.

Со стальным сердечником - №61 - открытая онлайн библиотека В результате такого подхода получаем схему замещения дросселя с параллельным соединением активной Со стальным сердечником - №62 - открытая онлайн библиотека и реактивной Со стальным сердечником - №63 - открытая онлайн библиотека проводимостей (рис.2.18).

Активная мощность P, потребляемая дросселем, слагается из потерь в обмотке (потери в меди) Со стальным сердечником - №64 - открытая онлайн библиотека , обусловленных наличием сопротивления провода r, и потерь в сердечнике (потери в стали) Со стальным сердечником - №65 - открытая онлайн библиотека , обусловленных явлениями гистерезиса и вихревыми токами

Со стальным сердечником - №66 - открытая онлайн библиотека .

Каждый из элементов, входящих в схему замещения, отображает определенные физические процессы, протекающие в реальной катушке с ферромагнитным сердечником при протекании по ней переменного тока:

Со стальным сердечником - №67 - открытая онлайн библиотека - активное сопротивление, учитывающее потери активной мощности в сопротивлении проводов обмотки (потери в меди);

Со стальным сердечником - №68 - открытая онлайн библиотека - реактивное сопротивление, учитывающее реактивную мощность, идущую на создание магнитного потока рассеяния Со стальным сердечником - №69 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №70 - открытая онлайн библиотека - активное сопротивление (активная проводимость), учитывающее потери активной мощности в сердечнике на вихревые токи и гистерезис (потери в стали);

Со стальным сердечником - №71 - открытая онлайн библиотека - реактивное сопротивление (реактивная проводимость) учитывающее реактивную мощность, идущую на создание основного магнитного потока Со стальным сердечником - №72 - открытая онлайн библиотека .

2.4. КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ПОТОКАХ

Магнитные цепи электрических аппаратов, работающих на синусоидальном токе, можно рассчитывать символическим методом с использованием комплексных чисел.

Пусть по катушке протекает синусоидальный ток

Со стальным сердечником - №73 - открытая онлайн библиотека .

Тогда на основании закона полного тока имеем:

Со стальным сердечником - №74 - открытая онлайн библиотека ,

т.е.

Со стальным сердечником - №75 - открытая онлайн библиотека ,

где w – число витков катушки;

l – длина средней магнитной силовой линии;

δ – угол потерь (угол магнитного запаздывания).

Сравнивая начальные фазы тока Со стальным сердечником - №76 - открытая онлайн библиотека и напряженности Со стальным сердечником - №77 - открытая онлайн библиотека , видим, что они совпадают по фазе.

При включении катушки с активным сопротивлением r в цепь синусоидального тока, по ней протекает ток, который создает падение напряжения Со стальным сердечником - №78 - открытая онлайн библиотека . Напряжение цепи, за вычетом этого падения напряжения, будет Со стальным сердечником - №79 - открытая онлайн библиотека

Это напряжение Со стальным сердечником - №80 - открытая онлайн библиотека есть доля напряжения сети, уравновешивающая ЭДС самоиндукции катушки Со стальным сердечником - №81 - открытая онлайн библиотека .

Если сердечник работает в ненасыщенном режиме, т.е. в линейной части основной кривой намагничивания, то синусоидальному току (напряженности) соответствует синусоидальный магнитный поток

Со стальным сердечником - №82 - открытая онлайн библиотека .

Основной магнитный поток является общим для всей установки и на векторных диаграммах он принимается исходным и совпадающим с вещественной осью комплексной плоскости. Поэтому для упрощения анализа электромагнитных устройств начальную фазу магнитного потока Со стальным сердечником - №83 - открытая онлайн библиотека рекомендуется принимать равной нулю.

ЭДС самоиндукции, наводимая в катушке:

Со стальным сердечником - №84 - открытая онлайн библиотека

где Со стальным сердечником - №85 - открытая онлайн библиотека - максимальное значение ЭДС.

Напряжение на обмотке уравновешивает эту ЭДС, т.е.

Со стальным сердечником - №86 - открытая онлайн библиотека .

Обратим внимание, что ЭДС и напряжение Со стальным сердечником - №80 - открытая онлайн библиотека сдвинуты по фазе на 180˚, т.е. находятся в противофазе.

При синусоидальном потоке магнитная индукция также изменяется по синусоидальному закону

Со стальным сердечником - №88 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, индукция Со стальным сердечником - №89 - открытая онлайн библиотека и напряженность магнитного поля Со стальным сердечником - №77 - открытая онлайн библиотека изменяются по синусоидальному закону, следовательно, их можно изобразить комплексными числами

Со стальным сердечником - №91 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №92 - открытая онлайн библиотека .

Тогда и магнитную проницаемость можно представить комплексным числом

Со стальным сердечником - №93 - открытая онлайн библиотека . (2.10)

Угол магнитного запаздывания α определяется шириной петли гистерезиса и указывает на то, что магнитный поток отстает от тока намагничивающей обмотки на угол α.

Если рассмотреть катушку на тороидальном сердечнике в цепи синусоидального тока, работающую на линейном участке кривой намагничивания, и не учитывать магнитный поток рассеяния, то комплексное магнитное сопротивление можно записать в виде:

Со стальным сердечником - №94 - открытая онлайн библиотека , (2.11)

где l – длина средней магнитной силовой линии;

S – площадь поперечного сечения сердечника;

Со стальным сердечником - №95 - открытая онлайн библиотека – комплексное удельное магнитное сопротивление.

Комплексное магнитное сопротивление (2.11) представим в алгебраической форме:

Со стальным сердечником - №96 - открытая онлайн библиотека , (2.12)

где Со стальным сердечником - №97 - открытая онлайн библиотека – активная составляющая комплекса магнитного сопротивления;

Со стальным сердечником - №98 - открытая онлайн библиотека – реактивная составляющая комплекса магнитного сопротивления.

Здесь Со стальным сердечником - №99 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №100 - открытая онлайн библиотека – соответственно активная и реактивная составляющие комплекса удельного магнитного сопротивления.

Комплексная удельная магнитная проводимость (проницаемость) представлена выражением (2.10). Тогда удельное магнитное сопротивление можно записать в виде:

Со стальным сердечником - №101 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, имея экспериментальные данные режима холостого хода, т.е. имея потери в стали и определив поток Ф, можно определить реактивную составляющую Со стальным сердечником - №100 - открытая онлайн библиотека комплекса удельного магнитного сопротивления для каждой марки стали, работающей в соответствующем режиме кривой намагничивания Со стальным сердечником - №103 - открытая онлайн библиотека .

Зная комплекс магнитного сопротивления Со стальным сердечником - №104 - открытая онлайн библиотека и реактивную составляющую Со стальным сердечником - №105 - открытая онлайн библиотека , можно определить активное магнитное сопротивление

Со стальным сердечником - №106 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, из опытных данных можно определить значения удельных магнитных сопротивлений Со стальным сердечником - №99 - открытая онлайн библиотека , Со стальным сердечником - №100 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №109 - открытая онлайн библиотека , связь между которыми выражается зависимостью

Со стальным сердечником - №110 - открытая онлайн библиотека .

Кривые зависимости удельных магнитных сопротивлений от магнитной индукции для различных сталей сняты экспериментально и приводятся в справочной литературе.

Например, для стали Э12 такие зависимости представлены на рис.2.19.

Со стальным сердечником - №111 - открытая онлайн библиотека

Р и с. 2.19

Тангенс угла потерь

Со стальным сердечником - №112 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6.Рассчитать величину тока, необходимого для создания в тороидальном сердечнике индукции Со стальным сердечником - №113 - открытая онлайн библиотека Вб/см2. Определить потери в стали и величину угла потерь α.

Дано: внутренний диаметр тороида Со стальным сердечником - №114 - открытая онлайн библиотека см, ширина пакета Со стальным сердечником - №115 - открытая онлайн библиотека см, толщина - Со стальным сердечником - №116 - открытая онлайн библиотека см. Марка стали – Э12, число витков катушки Со стальным сердечником - №117 - открытая онлайн библиотека , частота питающей сети Со стальным сердечником - №118 - открытая онлайн библиотека Гц.

Решение

Примем коэффициент заполнения пакета сталью, учитывающий лаковую изоляцию между листами железа, Со стальным сердечником - №119 - открытая онлайн библиотека .

Тогда сечение железа

Со стальным сердечником - №120 - открытая онлайн библиотека см2.

Амплитудное значение потока

Со стальным сердечником - №121 - открытая онлайн библиотека Вб.

По известной индукции Со стальным сердечником - №122 - открытая онлайн библиотека по кривой рис.2.19 для данной марки стали:

Со стальным сердечником - №123 - открытая онлайн библиотека см/Гн, Со стальным сердечником - №124 - открытая онлайн библиотека см/Гн.

Магнитные сопротивления сердечника

Со стальным сердечником - №125 - открытая онлайн библиотека Гн-1;

Со стальным сердечником - №126 - открытая онлайн библиотека Гн-1,

здесь Со стальным сердечником - №127 - открытая онлайн библиотека - длина средней магнитной силовой линии.

Комплекс магнитного сопротивления

Со стальным сердечником - №128 - открытая онлайн библиотека Гн-1.

Комплекс тока обмотки найдем с помощью закона Ома для магнитной цепи

Со стальным сердечником - №129 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно,

Со стальным сердечником - №130 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №131 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №132 - открытая онлайн библиотека

Модуль тока намагничивающей обмотки Со стальным сердечником - №133 - открытая онлайн библиотека А. Он опережает магнитный поток на угол Со стальным сердечником - №134 - открытая онлайн библиотека .

Суммарные потери в стали

Со стальным сердечником - №135 - открытая онлайн библиотека Со стальным сердечником - №136 - открытая онлайн библиотека Вт.

Если разделить потери в стали на потери на вихревые токи и гистерезис, то можно найти и соответствующие им удельные реактивные магнитные сопротивления

Со стальным сердечником - №137 - открытая онлайн библиотека ; Со стальным сердечником - №138 - открытая онлайн библиотека , где Со стальным сердечником - №139 - открытая онлайн библиотека .

Индексы «в» и «г» соответствуют вихревому и гистерезисному значению величин.

Удельное реактивное магнитное сопротивление при различных частотах определяется равенством

Со стальным сердечником - №140 - открытая онлайн библиотека ,

где Со стальным сердечником - №100 - открытая онлайн библиотека - удельное реактивное магнитное сопротивление при частоте Со стальным сердечником - №142 - открытая онлайн библиотека Гц.

Суммарные потери в стали на другой частоте равны:

Со стальным сердечником - №143 - открытая онлайн библиотека .

Существует связь между комплексным магнитным сопротивлением сердечника Со стальным сердечником - №104 - открытая онлайн библиотека и комплексным электрическим сопротивлением Со стальным сердечником - №145 - открытая онлайн библиотека обмотки [1], определяемым напряжением противо-ЭДС трансформатора

Со стальным сердечником - №146 - открытая онлайн библиотека .

Из режима холостого хода дросселя следует:

Со стальным сердечником - №147 - открытая онлайн библиотека .

Мнимая составляющая комплексного сопротивления Со стальным сердечником - №148 - открытая онлайн библиотека является результатом учета потерь в стали сердечника.

Из опыта холостого хода дросселя имеем:

Со стальным сердечником - №149 - открытая онлайн библиотека

или

Со стальным сердечником - №150 - открытая онлайн библиотека ,

откуда

Со стальным сердечником - №151 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. сопротивление Со стальным сердечником - №148 - открытая онлайн библиотека пропорционально потерям в стали Со стальным сердечником - №153 - открытая онлайн библиотека .

Вопросы для самопроверки

1. Какие векторные величины характеризуют процессы в магнитных цепях?

2. Какие скалярные величины характеризуют процессы в магнитных цепях?

3. Как определить положительное направление МДС?

4. Как выбирают направление магнитных потоков в ветвях магнитной цепи?

5. Назовите основные законы магнитных цепей?

6. Сформулируйте закон непрерывности магнитного потока и закон полного тока.

7. Сформулируйте законы Кирхгофа и Ома для магнитных цепей.

8. Чем обуславливается нелинейность магнитной цепи?

9. Какие основные понятия связаны с петлей гистерезиса?

10. Для чего в магнитные цепи электрических машин и аппаратов вводятся ферромагнитные сердечники?

11. Что характеризует площадь гистерезисной петли ферромагнитного материала?

12. Какие ферромагнитные материалы и почему используются для изготовления сердечников для машин переменного тока?

13. Проведите аналогию между электрическими и магнитными цепями?

14. В чем заключаются основные допущения, принимаемые при расчете магнитных цепей?

15. Чем отличаются разветвленные магнитные цепи от неразветвленных?

16. Какие два типа задач встречаются при расчете магнитных цепей? Дайте им характеристику.

17. Какие существуют методы расчета магнитных цепей?

18. Какими методами решаются «прямые» задачи?

19. Какими методами решаются «обратные» задачи?

20. Как влияет воздушный зазор на индуктивность нелинейной катушки?

21. Что такое «большой зазор»?

22. Что называется основным магнитным потоком?

23. Что называется магнитным потоком рассеяния?

24. На чем основан метод эквивалентных синусоид?

25. Из каких составляющих складываются общие потери в стали сердечника?

26. Какими способами можно уменьшить потери в стали?

27. Нарисуйте последовательную и параллельную схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником и соответствующие им векторные диаграммы.

28. Как определяются параметры g0 и b0 сердечника?

29. Какие физические процессы отражают элементы схемы замещения катушки со стальным сердечником?

30. Как в схеме замещения нелинейной катушки учитывается воздушный зазор в сердечнике?

31. Нарисуйте схему замещения и векторную диаграмму для трансформатора с ферромагнитным сердечником.

32. Объясните понятия комплексной магнитной проницаемости и комплексного магнитного сопротивления.


ДЛИННЫЕ ЛИНИИ

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Часто при исследовании электрических цепей можно пренебречь их геометрическими размерами, а также размерами входящих в них элементов, т.е. считать, что электрические и магнитные поля сосредоточены соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Такие цепи называются цепями с сосредоточенными параметрами.

Однако на практике приходится иметь дело и с такими цепями, где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате для одного и того же момента времени напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами или длинными линиями [1,2].

Примерами линий с распределенными параметрами являются линии электропередачи, линии связи, высокочастотные кабельные линии радиотехнических и телевизионных устройств и т.д.

Обмотки трансформаторов и электрических машин также можно рассматривать как цепи с распределенными параметрами при воздействии на них импульсных токов и напряжений, когда промежуток времени изменения токов и напряжений сравним со временем перемещения электромагнитных волн вдоль провода обмотки.

В длинных линиях электрические активные сопротивления, проводимости, индуктивности и электрические емкости распределены вдоль цепи. Если это распределение носит равномерный характер (например, линии электропередачи), то длинную линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

3.2. УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ДЛИННОЙ ЛИНИИ

К первичным параметрам однородной длинной линии относятся:

Со стальным сердечником - №154 - открытая онлайн библиотека - активное сопротивление на единицу длины, Ом/км;

Со стальным сердечником - №155 - открытая онлайн библиотека - индуктивность на единицу длины, Гн/км;

Со стальным сердечником - №156 - открытая онлайн библиотека - проводимость изоляции между проводами на единицу длины, См/км;

Со стальным сердечником - №157 - открытая онлайн библиотека - емкость на единицу длины, Ф/км.

Разобьем однородную линию с распределенными параметрами на отдельные участки длиной dx (рис.3.1.), где х – расстояние от начала линии.

Обозначим ток в начале рассматриваемого участка dx через i и напряжение между проводами линии в начале участка dx через u.

Со стальным сердечником - №158 - открытая онлайн библиотека Тогда в конце участка будет соответственно Со стальным сердечником - №159 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №160 - открытая онлайн библиотека .

Со стальным сердечником - №161 - открытая онлайн библиотека

Р и с. 3.1

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость.

Таким образом, по законам Кирхгофа

Со стальным сердечником - №162 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №163 - открытая онлайн библиотека

После сокращения обеих частей уравнений на dx получим уравнения однородной длинной линии:

Со стальным сердечником - №164 - открытая онлайн библиотека (3.1)

Со стальным сердечником - №165 - открытая онлайн библиотека (3.2)

Токи и напряжения в цепях с распределенными параметрами являются функциями двух независимых переменных – времени t и координаты x. Соответственно, процессы в этих цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

3.3. ОДНОРОДНАЯ ДЛИННАЯ ЛИНИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ

Пусть напряжение u и ток i в длинной линии изменяются во времени по синусоидальному закону с угловой частотой ω.

Пользуясь комплексным методом, напишем уравнения линии для комплексов действующих значений напряжения и тока.

Вводя комплексные величины Со стальным сердечником - №166 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №167 - открытая онлайн библиотека и заменяя Со стальным сердечником - №168 - открытая онлайн библиотека на jω, на основании (3.1) и (3.2) получаем

Со стальным сердечником - №169 - открытая онлайн библиотека (3.3)

Со стальным сердечником - №170 - открытая онлайн библиотека (3.4)

где Со стальным сердечником - №171 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №172 - открытая онлайн библиотека - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.

Комплексы Со стальным сердечником - №166 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №167 - открытая онлайн библиотека являются функциями только координаты x, и, соответственно, уравнения в частных производных для мгновенных значений перешли в обыкновенные дифференциальные уравнения для комплексов.

Продифференцировав (3.3) по х и подставив в него выражение (3.4), получим

Со стальным сердечником - №175 - открытая онлайн библиотека .

Характеристическое уравнение

Со стальным сердечником - №176 - открытая онлайн библиотека ,

откуда корни

Со стальным сердечником - №177 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом,

Со стальным сердечником - №178 - открытая онлайн библиотека (3.5)

где Со стальным сердечником - №179 - открытая онлайн библиотека - коэффициент (постоянная) распространения линии.

Для комплекса тока согласно уравнению (3.3) можно записать

Со стальным сердечником - №180 - открытая онлайн библиотека , (3.6)

где Со стальным сердечником - №181 - открытая онлайн библиотека - волновое сопротивление линии.

Волновое сопротивление Со стальным сердечником - №182 - открытая онлайн библиотека и коэффициент распространения Со стальным сердечником - №183 - открытая онлайн библиотека относятся к вторичным параметрам длинной линии, связаны с ее первичными параметрами соотношениями

Со стальным сердечником - №184 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №185 - открытая онлайн библиотека

и являются основными характеристиками однородной линии как устройства для передачи энергии или информации

Комплексные постоянные интегрирования Со стальным сердечником - №186 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №187 - открытая онлайн библиотека , входящие в выражения (3.5) и (3.6), находятся на основании граничных условий: значений напряжения и тока в начале или в конце линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение и ток в конце линии.

Пример 1. Определим первичные параметры Со стальным сердечником - №188 - открытая онлайн библиотека длинной линии на частоте 100 Гц, если известны ее волновое сопротивление Со стальным сердечником - №189 - открытая онлайн библиотека Ом и коэффициент распространения Со стальным сердечником - №190 - открытая онлайн библиотека км-1.

Решение

Составим произведение

Со стальным сердечником - №191 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно,

Со стальным сердечником - №192 - открытая онлайн библиотека ,

откуда

R0 = 99 Ом/км, L0 = 13,9/(2π∙100) = 0,0222 Гн/км.

Составим отношение

Со стальным сердечником - №193 - открытая онлайн библиотека

Следовательно,

Со стальным сердечником - №194 - открытая онлайн библиотека ,

откуда

G0 = 0,0557∙10-3 См/км,

C0 = 0,396∙10-3/(2π∙100) = 0,631∙10-8 Ф/км.

3.4. ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ

Волновое сопротивление Со стальным сердечником - №195 - открытая онлайн библиотека длинной линии является комплексной величиной и, следовательно, может быть представлено в показательной форме:

Со стальным сердечником - №196 - открытая онлайн библиотека , (3.7)

где Со стальным сердечником - №197 - открытая онлайн библиотека модуль волнового сопротивления;

φВ аргумент волнового сопротивления.

Коэффициент распространения Со стальным сердечником - №183 - открытая онлайн библиотека также является комплексным числом и может быть представлен в алгебраической форме:

Со стальным сердечником - №199 - открытая онлайн библиотека , (3.8)

где α коэффициент затухания; β коэффициент фазы.

Коэффициент Со стальным сердечником - №200 - открытая онлайн библиотека характеризует затухание, а коэффициент Со стальным сердечником - №201 - открытая онлайн библиотека - изменение фазы перемещающейся вдоль линии электромагнитной волны на единицу длины линии.

Таким образом, с учетом (3.8) выражение (3.5) для комплекса напряжения можно записать в виде

Со стальным сердечником - №202 - открытая онлайн библиотека . (3.9)

Выражение (3.6) для комплекса тока с учетом (3.8) примет вид

Со стальным сердечником - №203 - открытая онлайн библиотека . (3.10)

Представим комплексные постоянные интегрирования в виде Со стальным сердечником - №204 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №205 - открытая онлайн библиотека .

Тогда на основании (3.9) можно записать

Со стальным сердечником - №206 - открытая онлайн библиотека . (3.11)

Аналогично на основании (3.10) с учетом (3.7) можно записать

Со стальным сердечником - №207 - открытая онлайн библиотека . (3.12)

Переходя в уравнениях (3.11) и (3.12) от комплексов напряжения и тока к их мгновенным значениям, соответственно получим:

Со стальным сердечником - №208 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №209 - открытая онлайн библиотека

Слагаемые в правых частях полученных соотношений можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания координаты х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени t.

Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а волну, движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.

Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью Со стальным сердечником - №210 - открытая онлайн библиотека . Это есть скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:

Со стальным сердечником - №211 - открытая онлайн библиотека . (3.13)

Продифференцировав выражение (3.13) по времени, получаем

Со стальным сердечником - №212 - открытая онлайн библиотека .

Длиной волны Со стальным сердечником - №213 - открытая онлайн библиотека называется расстояние, на которое распространяется волна за один период колебания Т :

Со стальным сердечником - №214 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно, коэффициент фазы Со стальным сердечником - №201 - открытая онлайн библиотека определяет основные параметры бегущих вдоль длинной линии волн: длину волны и фазовую скорость. Затухание электромагнитной волны по мере продвижения вдоль линии объясняется наличием потерь и характеризуется коэффициентом затухания α.

Таким образом, напряжение и ток в линии можно представить как результат наложения двух волн - прямой Со стальным сердечником - №216 - открытая онлайн библиотека , Со стальным сердечником - №217 - открытая онлайн библиотека и обратной Со стальным сердечником - №218 - открытая онлайн библиотека , Со стальным сердечником - №219 - открытая онлайн библиотека , - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях.

Для напряжения имеем

Со стальным сердечником - №220 - открытая онлайн библиотека ,

где Со стальным сердечником - №221 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №222 - открытая онлайн библиотека .

Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провода к нижнему.

Аналогично для тока можно записать

Со стальным сердечником - №223 - открытая онлайн библиотека ,

где Со стальным сердечником - №224 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №225 - открытая онлайн библиотека .

Представление тока в виде разности прямой и обратной волн означает, что положительные направления прямой и обратной волн тока различны: положительное направление прямой волны выбрано от начала к концу линии, а положительное направление обратной волны ему противоположно.

3.5. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЙ

Волновое сопротивление линии Со стальным сердечником - №226 - открытая онлайн библиотека и коэффициент распространения Со стальным сердечником - №183 - открытая онлайн библиотека в общем случае зависят от частоты, поэтому условия прохождения волны тока и напряжения вдоль линии для разных частот оказываются различными.

Если сигнал на входе является периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе линии форма кривой сигнала будет отличаться от его формы на входе, так как различные гармоники оказываются в различных условиях. Это также будет иметь место при апериодическом сигнале, так как такой сигнал можно представить в виде частотного спектра, и для различных частот этого спектра условия прохождения вдоль линии будут различными.

Линией без искажений называется длинная линия, вдоль которой волны всех частот распространяются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени. При движении электромагнитной волны вдоль такой линии напряжения и токи уменьшаются по величине, но их форма при этом не меняется. Неискажающие линии применяются в телефонии и других линиях связи.

Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент затухания и фазовая скорость не должны зависеть от частоты. Это имеет место при выполнении соотношения:

Со стальным сердечником - №228 - открытая онлайн библиотека

Действительно, при этом

Со стальным сердечником - №229 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №230 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, для линии без искажений получаем:

Со стальным сердечником - №231 - открытая онлайн библиотека Со стальным сердечником - №232 - открытая онлайн библиотека Со стальным сердечником - №233 - открытая онлайн библиотека

Можно сказать, что в этих условиях коэффициент затухания и коэффициент фазы имеют минимальные значения и, соответственно, фазовая скорость принимает максимальное значение и равна скорости распространения электромагнитных волн в диэлектрике, окружающем провода линии.

Волновое сопротивление линии без искажений

Со стальным сердечником - №234 - открытая онлайн библиотека

является действительным числом и также не зависит от частоты.

При выполнении указанных условий мы получаем передачу сигнала вдоль линии без искажений, но сигнал затухает по мере продвижения, так как коэффициент α > 0.

В предельном случае, когда R0 = 0 и G0 = 0 получаем неискажающую линию без потерь, по которой сигнал передается не только без искажения, но и без затухания.

Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных) Со стальным сердечником - №235 - открытая онлайн библиотека . Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.

Пример 2. Найдем фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии передачи с малыми потерями.

Решение

Индуктивность единицы длины воздушной двухпроводной линии [2]

Со стальным сердечником - №236 - открытая онлайн библиотека

где Со стальным сердечником - №237 - открытая онлайн библиотека - магнитная постоянная;

d - расстояние между осями проводов;

r - радиус каждого провода.

Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линии [2]

Со стальным сердечником - №238 - открытая онлайн библиотека

где Со стальным сердечником - №239 - открытая онлайн библиотека - электрическая постоянная.

Фазовая скорость

Со стальным сердечником - №240 - открытая онлайн библиотека (км/с).

Пример 3. Найдем длину электромагнитной волны промышленной частоты для воздушной линии передачи:

Со стальным сердечником - №241 - открытая онлайн библиотека (км).

Пример 4. Какую дополнительную индуктивность Со стальным сердечником - №242 - открытая онлайн библиотека нужно включить на каждом километре телефонной линии с параметрами: Со стальным сердечником - №154 - открытая онлайн библиотека = 3 Ом/км; Со стальным сердечником - №244 - открытая онлайн библиотека = 2∙10-3 Гн/км; Со стальным сердечником - №245 - открытая онлайн библиотека = 10-6 См/км; Со стальным сердечником - №157 - открытая онлайн библиотека = 6∙10-9 Ф/км, чтобы линия стала неискажающей?

Решение

Чтобы линия стала неискажающей, ее параметры должны удовлетворять соотношению

Со стальным сердечником - №247 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно,

Со стальным сердечником - №248 - открытая онлайн библиотека Гн/км;

Со стальным сердечником - №249 - открытая онлайн библиотека Гн/км.

3.6. УРАВНЕНИЯ ДЛИННОЙ ЛИНИИ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Пусть для линии длиной l заданы напряжение Со стальным сердечником - №250 - открытая онлайн библиотека и ток Со стальным сердечником - №251 - открытая онлайн библиотека в конце линии, т.е. при x = l.

Тогда из уравнений (3.5) и (3.6) получаем

Со стальным сердечником - №252 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №253 - открытая онлайн библиотека .

Найдем комплексные постоянные интегрирования Со стальным сердечником - №186 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №187 - открытая онлайн библиотека . Для этого введем обозначения:

Со стальным сердечником - №256 - открытая онлайн библиотека ; Со стальным сердечником - №257 - открытая онлайн библиотека .

Тогда

Со стальным сердечником - №258 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №259 - открытая онлайн библиотека ,

откуда получаем

Со стальным сердечником - №260 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №261 - открытая онлайн библиотека .

Соответственно постоянные интегрирования

Со стальным сердечником - №262 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №263 - открытая онлайн библиотека .

После подстановки найденных выражений Со стальным сердечником - №186 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №187 - открытая онлайн библиотека в выражения (3.5) и (3.6) получаем уравнения, позволяющие определить напряжение Со стальным сердечником - №266 - открытая онлайн библиотека и ток Со стальным сердечником - №18 - открытая онлайн библиотека в любой точке линии по их известным значениям Со стальным сердечником - №268 - открытая онлайн библиотека и Со стальным сердечником - №269 - открытая онлайн библиотека в конце линии

Со стальным сердечником - №270 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №271 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №272 - открытая онлайн библиотека ;

Со стальным сердечником - №273 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №274 - открытая онлайн библиотека

Со стальным сердечником - №275 - открытая онлайн библиотека .

 <