Случайные события и их вероятности

Событие – любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или не наступило в результате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Отсюда следует, что событие можно рассматривать, как величину, которая может принимать только два значения.

Можно выделить виды событий.

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом осуществлении определенной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного и не более шести очков является достоверным событием.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет ни при одном осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение более шести очков является невозможным событием.

Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение любого из шести очков является случайным событием.

События называются несовместимыми, если их одновременное появление при осуществлении данной совокупности условий невозможно, т. е. появление события А в данном испытании исключает появление события В в этом же испытании. Например, если из урны с черными и белыми шарами случайным образом извлекается белый шар, то его появление исключает извлечение черного шара в той же попытке.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Например, если стрелок произвел выстрел, то обязательно происходит одно из двух событий – попадание или промах. Эти события единственно возможные.

Совокупность единственно возможных событий испытания называется полной группой событий.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Например, появление герба или решетки при бросании монеты есть события равновозможные.

Если Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека – какое либо событие, то событие, состоящее в том, что событие Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека не наступило, называется событием противоположным событию Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека или отрицанием события Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека и обозначается Случайные события и их вероятности - №5 - открытая онлайн библиотека .

Суммой событий Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека называется такое событие, обозначаемое Случайные события и их вероятности - №8 - открытая онлайн библиотека , которое происходит только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека или Случайные события и их вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека или оба вместе.

Произведением событий Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека называется такое событие, обозначаемое Случайные события и их вероятности - №13 - открытая онлайн библиотека , которое происходит только тогда, когда происходят оба события Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека одновременно. Если Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека несовместимые события, то событие Случайные события и их вероятности - №13 - открытая онлайн библиотека является невозможным.

События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных исходов.

Те элементарные исходы, при которых наступает интересующее нас событие, называются исходами, благоприятствующимиэтому событию.

Вероятностьсобытия Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека – это отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу всех возможных и равновозможных элементарных исходов эксперимента Случайные события и их вероятности - №20 - открытая онлайн библиотека , где Случайные события и их вероятности - №21 - открытая онлайн библиотека – число элементарных исходов, благоприятствующих событию Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека ; Случайные события и их вероятности - №23 - открытая онлайн библиотека – число всех возможных элементарных исходов эксперимента.

Можно определить следующие свойства вероятности:

– вероятность достоверного события равна 1;

– вероятность невозможного события равна 0;

– вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1: Случайные события и их вероятности - №24 - открытая онлайн библиотека .

Математическое понятие вероятности случайного события является абстрактной характеристикой, присущей не самим интересующим нас объектам материального мира, а их теоретико-множественным моделям. Требуется некоторое дополнительное соглашение для того, чтобы можно было извлекать сведения о вероятностях из экспериментальных данных. В соответствии с классическим определением принято оценивать вероятность события относительной частотой благоприятных исходов опыта. Если проведено N независимых испытаний и в n из них наблюдалось событие Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека , то эмпирическая (выборочная) оценка вероятности Случайные события и их вероятности - №26 - открытая онлайн библиотека , которую можно получить из этой серии, равна: Случайные события и их вероятности - №27 - открытая онлайн библиотека . При этом полагают, что Случайные события и их вероятности - №28 - открытая онлайн библиотека , если число испытаний Случайные события и их вероятности - №29 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы теории вероятностей

1. Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их одновременного наступления

Случайные события и их вероятности - №30 - открытая онлайн библиотека .

Если Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека несовместимые события, то событие Случайные события и их вероятности - №13 - открытая онлайн библиотека является невозможным. Следовательно, Случайные события и их вероятности - №34 - открытая онлайн библиотека . Обобщая на несколько попарно несовместимых событий, можно записать Случайные события и их вероятности - №35 - открытая онлайн библиотека .

Если события Случайные события и их вероятности - №36 - открытая онлайн библиотека образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице: Случайные события и их вероятности - №37 - открытая онлайн библиотека . Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Случайные события и их вероятности - №38 - открытая онлайн библиотека .

2. Теорема умножения вероятностей.Предположим, что из общего числа Случайные события и их вероятности - №23 - открытая онлайн библиотека исходов испытания событию Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека благоприятствуют Случайные события и их вероятности - №21 - открытая онлайн библиотека элементарных исходов, событию Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека благоприятствуют Случайные события и их вероятности - №43 - открытая онлайн библиотека элементарных исходов, а одновременному наступлению событий Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека благоприятствуют Случайные события и их вероятности - №46 - открытая онлайн библиотека элементарных исходов. Если событие Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека наступило, то это означает, что осуществился один из Случайные события и их вероятности - №43 - открытая онлайн библиотека благоприятствующих ему исходов, причем из этих Случайные события и их вероятности - №43 - открытая онлайн библиотека исходов благоприятствовать событию Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека будут и те Случайные события и их вероятности - №46 - открытая онлайн библиотека исходов, при которых события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека наступают одновременно. В связи с этим вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью Случайные события и их вероятности - №54 - открытая онлайн библиотека называют вероятность события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека , вычисленную в предположении, что событие Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека уже наступило. Независимыми событиями называются события, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Если событие Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека независимо от события Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека , то Случайные события и их вероятности - №59 - открытая онлайн библиотека . События Случайные события и их вероятности - №36 - открытая онлайн библиотека называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий независимо в паре с любым произведением остальных событий, содержащим как все остальные события, так и любую их часть. Независимость событий Случайные события и их вероятности - №36 - открытая онлайн библиотека в совокупности влечет за собой попарную независимость этих событий. Для двух случайных зависимых событий вероятность произведения этих событий (т. е. одновременного появления в одном испытании) равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, рассчитанную при условии, что первое событие уже произошло: Случайные события и их вероятности - №62 - открытая онлайн библиотека . Если событие Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека независимо от события Случайные события и их вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека , то Случайные события и их вероятности - №65 - открытая онлайн библиотека . Вероятность одновременного появления нескольких попарно независимых событий Случайные события и их вероятности - №36 - открытая онлайн библиотека равна произведению их вероятностей: Случайные события и их вероятности - №67 - открытая онлайн библиотека .

3. Теорема полной вероятности.Пусть имеется группа событий Случайные события и их вероятности - №68 - открытая онлайн библиотека , обладающих следующими свойствами: а) все события попарно несовместимы; б) их объединение образует пространство элементарных исходов; в) они образуют полную группу событий. Такие события называют гипотезами, поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит. Пусть Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека – некоторое событие, которое может произойти при наступлении одного и только одного из событий Случайные события и их вероятности - №68 - открытая онлайн библиотека . Это означает, что Случайные события и их вероятности - №71 - открытая онлайн библиотека . Вероятность события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий Случайные события и их вероятности - №68 - открытая онлайн библиотека , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека : Случайные события и их вероятности - №75 - открытая онлайн библиотека . Приведенная формула называется формулой полной вероятности.

4. Формула Байеса.Пусть, как и в предыдущем случае имеем совокупность события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека и группы событий Случайные события и их вероятности - №68 - открытая онлайн библиотека , обладающих теми же свойствами. Допустим, что событие Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека произошло и требуется определить, как в связи с этим изменились вероятности гипотез, т. е. Случайные события и их вероятности - №79 - открытая онлайн библиотека . Эта задача решается с помощью формулы Байеса Случайные события и их вероятности - №80 - открытая онлайн библиотека . Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека , т. е. найти апостериорные вероятности. Используя понятие условной вероятности формулу Байеса можно интерпретировать как вероятность того, что причиной появления события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека является событие Случайные события и их вероятности - №83 - открытая онлайн библиотека .

5. Формула Бернулли.Пусть производится Случайные события и их вероятности - №84 - открытая онлайн библиотека независимых испытаний, в каждом из которых событие Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека может появиться, либо не появиться. Будем считать, что вероятность события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека в каждом испытании одна и та же и равна Случайные события и их вероятности - №87 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, вероятность ненаступления события Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека в каждом испытании также постоянна и равна Случайные события и их вероятности - №89 - открытая онлайн библиотека . Вероятность того, что при этих условиях при n испытаниях событие Случайные события и их вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека произойдет ровно k раз и, следовательно, не произойдет Случайные события и их вероятности - №91 - открытая онлайн библиотека раз определяется по формуле Бернулли Случайные события и их вероятности - №92 - открытая онлайн библиотека , где Случайные события и их вероятности - №93 - открытая онлайн библиотека . Формулу Бернулли называют также формулой биномиального распределения вероятностей, поскольку в правой ее части стоит Случайные события и их вероятности - №94 - открытая онлайн библиотека -й член бинома Ньютона.

6. Локальная теорема Лапласа.При больших Случайные события и их вероятности - №84 - открытая онлайн библиотека формулой Бернулли пользоваться затруднительно из-за громоздкости вычислений. Для этого случая доказана так называемая локальная теорема Лапласа, дающая асимптотическую формулу, которая позволяет приближенной найти вероятность появления события Случайные события и их вероятности - №96 - открытая онлайн библиотека раз в Случайные события и их вероятности - №84 - открытая онлайн библиотека испытаниях, если число испытаний достаточно велико Случайные события и их вероятности - №98 - открытая онлайн библиотека , где Случайные события и их вероятности - №99 - открытая онлайн библиотека и Случайные события и их вероятности - №100 - открытая онлайн библиотека . Для функции Случайные события и их вероятности - №101 - открытая онлайн библиотека составлены таблицы, соответствующие положительным значениям аргумента Случайные события и их вероятности - №102 - открытая онлайн библиотека , поскольку Случайные события и их вероятности - №103 - открытая онлайн библиотека . Формула Лапласа дает тем большую точность, чем больше Случайные события и их вероятности - №84 - открытая онлайн библиотека .

7. Интегральная теорема Лапласа.Если при тех же условиях, что и в предыдущем случае, требуется найти вероятность того, что событие Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека появится в Случайные события и их вероятности - №84 - открытая онлайн библиотека испытаниях не менее Случайные события и их вероятности - №107 - открытая онлайн библиотека раз и не более Случайные события и их вероятности - №108 - открытая онлайн библиотека раз, то пользуются интегральной теоремой Лапласа Случайные события и их вероятности - №109 - открытая онлайн библиотека , где Случайные события и их вероятности - №110 - открытая онлайн библиотека – табличная функция, называемая функцией Лапласа. Эта функция обладает следующими свойствами: а) Случайные события и их вероятности - №111 - открытая онлайн библиотека ; б) Случайные события и их вероятности - №112 - открытая онлайн библиотека ; в) Случайные события и их вероятности - №113 - открытая онлайн библиотека т. е. функция нечетна. Значения аргумента x находятся по формулам: Случайные события и их вероятности - №114 - открытая онлайн библиотека .

Основное отличие понятия вероятности от относительной частоты появления события состоит в том, что первую характеристику вычисляют до опыта, а вторую – после опыта. В том случае, если относительная частота наступления события обнаруживает устойчивую закономерность, т. е. если отношение Случайные события и их вероятности - №115 - открытая онлайн библиотека для достаточно больших Случайные события и их вероятности - №116 - открытая онлайн библиотека и большинства серий испытаний мало отклоняется от некоторой постоянной величины, то эту постоянную величину называют статистической вероятностью появления события. Для сопоставления этих величин также используется функция Лапласа. Пусть производится Случайные события и их вероятности - №116 - открытая онлайн библиотека независимых испытаний, в каждом из которых событие Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека может появиться, либо не появиться. Будем считать, что вероятность события Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека в каждом испытании одна и та же и равна Случайные события и их вероятности - №87 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, вероятность ненаступления события Случайные события и их вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека в каждом испытании также постоянна и равна Случайные события и их вероятности - №89 - открытая онлайн библиотека . Необходимо определить вероятность того, что отклонение относительной частоты Случайные события и их вероятности - №115 - открытая онлайн библиотека от вероятности Случайные события и их вероятности - №87 - открытая онлайн библиотека по абсолютной величине не превышает e>0. Это осуществляется с помощью следующей формулы Случайные события и их вероятности - №125 - открытая онлайн библиотека .

8. Формула Пуассона.При тех же условиях, что и в предыдущих случаях, но если Случайные события и их вероятности - №84 - открытая онлайн библиотека велико ( Случайные события и их вероятности - №127 - открытая онлайн библиотека ), а Случайные события и их вероятности - №87 - открытая онлайн библиотека мало ( Случайные события и их вероятности - №129 - открытая онлайн библиотека ), вместо локальной формулы Лапласа удобнее пользоваться асимптотической формулой Пуассона Случайные события и их вероятности - №130 - открытая онлайн библиотека где Случайные события и их вероятности - №131 - открытая онлайн библиотека .