Случайные величины в общей схеме

В случае произвольного вероятностного пространства случайной величиной Случайные величины в общей схеме - №1 - открытая онлайн библиотека называется такая функцияX = X ( Случайные величины в общей схеме - №2 - открытая онлайн библиотека ) от элементарных исходов Случайные величины в общей схеме - №3 - открытая онлайн библиотека , для которой при любом численном значении Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека неравенство {X ≤ Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека } является событием. Вероятность этого события Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {X ≤ Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека } называется функцией распределения. Таким образом, функция распределения Случайные величины в общей схеме - №8 - открытая онлайн библиотека случайной величины X определяется формулой

Случайные величины в общей схеме - №8 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {X ≤ x}. (3)

Функция распределения обладает следующими свойствами:

a) 0 ≤ Случайные величины в общей схеме - №8 - открытая онлайн библиотека ≤ l, – Случайные величины в общей схеме - №12 - открытая онлайн библиотека < x < Случайные величины в общей схеме - №12 - открытая онлайн библиотека ;

b) FX (– Случайные величины в общей схеме - №12 - открытая онлайн библиотека ) = 0, FX (+ Случайные величины в общей схеме - №12 - открытая онлайн библиотека ) = 1;

c) Случайные величины в общей схеме - №8 - открытая онлайн библиотека - неубывающая функция на всей оси;

d) Случайные величины в общей схеме - №8 - открытая онлайн библиотека непрерывна справа, т. е. Случайные величины в общей схеме - №18 - открытая онлайн библиотека Случайные величины в общей схеме - №19 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №20 - открытая онлайн библиотека .

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный интервал действительной оси ( Случайные величины в общей схеме - №21 - открытая онлайн библиотека , Случайные величины в общей схеме - №22 - открытая онлайн библиотека ] определяется формулой

Случайные величины в общей схеме - №23 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №24 - открытая онлайн библиотекаСлучайные величины в общей схеме - №25 - открытая онлайн библиотека . (4)

Различают случайные величины дискретного типа и случайные величины непрерывного типа. Определение дискретных случайных величин и их законов распределения дано выше. Зная закон распределения таких величин, можно вычислить функцию распределения, представляющую собой, в силу определения (3), функцию накопленных вероятностей:

Случайные величины в общей схеме - №26 - открытая онлайн библиотека (5)

где суммирование распространяется на все значения индекса Случайные величины в общей схеме - №27 - открытая онлайн библиотека , для которых Случайные величины в общей схеме - №28 - открытая онлайн библиотека < Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека . Это ступенчатая функция, которая принимает постоянное значение на любом интервале, не содержащем значений случайной величины Случайные величины в общей схеме - №1 - открытая онлайн библиотека . Ее точки разрыва – это ее возможные значения Случайные величины в общей схеме - №28 - открытая онлайн библиотека , а скачки в точках разрыва – соответствующие вероятности Случайные величины в общей схеме - №32 - открытая онлайн библиотека .

Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа, если существует такая неотрицательная функция Случайные величины в общей схеме - №33 - открытая онлайн библиотека , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека Случайные величины в общей схеме - №35 - открытая онлайн библиотека R

Случайные величины в общей схеме - №36 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {X ≤ Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека } = Случайные величины в общей схеме - №39 - открытая онлайн библиотека . (6)

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:

a) Случайные величины в общей схеме - №33 - открытая онлайн библиотека ≥ 0, – Случайные величины в общей схеме - №12 - открытая онлайн библиотека < x < Случайные величины в общей схеме - №12 - открытая онлайн библиотека ;

b) Случайные величины в общей схеме - №43 - открытая онлайн библиотека =l (условие нормировки);

c) Случайные величины в общей схеме - №44 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №33 - открытая онлайн библиотека в точках непрерывности функции Случайные величины в общей схеме - №33 - открытая онлайн библиотека .

Функция распределения непрерывной случайной величины Случайные величины в общей схеме - №36 - открытая онлайн библиотека является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси, причем

Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {Х = Случайные величины в общей схеме - №4 - открытая онлайн библиотека } = Случайные величины в общей схеме - №50 - открытая онлайн библиотека = 0 при всех x Случайные величины в общей схеме - №35 - открытая онлайн библиотека R.

Это значит, что вероятность «попасть в точку» для непрерывной случайной величины, равна нулю.

Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность ее попадания на интервал ( Случайные величины в общей схеме - №21 - открытая онлайн библиотека , Случайные величины в общей схеме - №22 - открытая онлайн библиотека ] может быть вычислена как через функцию распределения по формуле (4), так и через плотность распределения вероятностей:

Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека { Случайные величины в общей схеме - №21 - открытая онлайн библиотека < Х ≤ Случайные величины в общей схеме - №22 - открытая онлайн библиотека } = Случайные величины в общей схеме - №57 - открытая онлайн библиотека . (7)

Пример. Функция Случайные величины в общей схеме - №58 - открытая онлайн библиотека является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины. Найти: значение нормирующей постоянной Случайные величины в общей схеме - №59 - открытая онлайн библиотека , функцию распределения, вероятность

Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {0< Х ≤ 1}.

◄ Постоянную Случайные величины в общей схеме - №59 - открытая онлайн библиотека находим из условия нормировки плотности распределения Случайные величины в общей схеме - №43 - открытая онлайн библиотека =l: Случайные величины в общей схеме - №63 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №64 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №65 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №66 - открытая онлайн библиотека Случайные величины в общей схеме - №67 - открытая онлайн библиотека Случайные величины в общей схеме - №66 - открытая онлайн библиотека =1 Случайные величины в общей схеме - №67 - открытая онлайн библиотека Случайные величины в общей схеме - №70 - открытая онлайн библиотека . Итак, Случайные величины в общей схеме - №71 - открытая онлайн библиотека .

Функцию распределения найдем исходя из определяющей ее формулы (6): Случайные величины в общей схеме - №36 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №39 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №74 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №75 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №76 - открытая онлайн библиотека .

По формуле (7) находим искомую вероятность Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {0< Х ≤ 1}:

Случайные величины в общей схеме - №6 - открытая онлайн библиотека {0< Х ≤ 1} = Случайные величины в общей схеме - №79 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №80 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №81 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №82 - открытая онлайн библиотека =

= Случайные величины в общей схеме - №83 - открытая онлайн библиотека . Этот результат можно получить и с помощью функции распределения по формуле(4): Случайные величины в общей схеме - №84 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №85 - открытая онлайн библиотекаСлучайные величины в общей схеме - №86 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №87 - открытая онлайн библиотека

Случайные величины в общей схеме - №88 - открытая онлайн библиотека = Случайные величины в общей схеме - №89 - открытая онлайн библиотека . ►