Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ

Случайнойназывают величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

x x1 x2 . . . хn
р p1 p2 . . . pn

при этом Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №1 - открытая онлайн библиотека

Числовые характеристики ДСВ:

1. Математическое ожидание:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №2 - открытая онлайн библиотека

2. Дисперсия:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №3 - открытая онлайн библиотека или Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №4 - открытая онлайн библиотека

3. Среднее квадратическое отклонение:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №5 - открытая онлайн библиотека

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину у которой функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b) вычисляется по формуле:

1 способ: Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №6 - открытая онлайн библиотека .

2 способ: Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №7 - открытая онлайн библиотека

Плотностью распределения вероятности НСВ Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x):

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №8 - открытая онлайн библиотека

Числовые характеристики НСВ:

1. Математическим ожиданием НСВ Х:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №9 - открытая онлайн библиотека

2. Дисперсия НСВ Х:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №10 - открытая онлайн библиотека или Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №11 - открытая онлайн библиотека

3. Среднее квадратическое отклонение НСВ Х:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №5 - открытая онлайн библиотека

Пример. Задана ДСВ Х

xi
pi 0.3 0.4 0.3

Найти: 1) Функцию распределения F(х) ДСВ и построить ее график.

2) M(x), D(x), б(x).

Решение:

1) при x < 2

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №13 - открытая онлайн библиотека

при 2 < x < 5

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №14 - открытая онлайн библиотека

при 5 < x < 9

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №15 - открытая онлайн библиотека

при x > 9

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №16 - открытая онлайн библиотека

Тогда получим, Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №17 - открытая онлайн библиотека

2) найдем числовые характеристики ДСВ:

а) Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №19 - открытая онлайн библиотека ;

M(x)=2 Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №20 - открытая онлайн библиотека

б) Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №4 - открытая онлайн библиотека ;

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №22 - открытая онлайн библиотека

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №23 - открытая онлайн библиотека

в) Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №5 - открытая онлайн библиотека

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №25 - открытая онлайн библиотека

Пример. НСВ Х задана функцией распределения

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №26 - открытая онлайн библиотека

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,2).

Решение:

1способ:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №27 - открытая онлайн библиотека .

2 способ:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №28 - открытая онлайн библиотека

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №29 - открытая онлайн библиотека

Ответ : Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №30 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию НСВ Х, заданной функции распределения

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №31 - открытая онлайн библиотека

Решение:

Найдем функцию плотности распределения:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №32 - открытая онлайн библиотека

Найдем математическое ожидание по формуле:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №33 - открытая онлайн библиотека

Найдем дисперсию по формуле:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №34 - открытая онлайн библиотека

Лекция 12. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ

Необходимо заметить, что:

- любое измерение нельзя выполнить абсолютно точно: ошибку дает либо сам прибор, либо наблюдатель;

- счет дает точные результаты, только если количество пересчитываемых предметов невелико и если оно постоянно во времени;

- далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.

Поэтому первым в теории численных методов является вопрос о способах определения погрешности данного числа и о приемах определения погрешности чисел, полученных в результате ряда простейших арифметических действий с приближенными числами.

Величина Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №35 - открытая онлайн библиотека , где А – точное значение числа, Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека – его приближенное значение, называется абсолютной погрешностью числа Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека .

Границей абсолютной погрешности (ее предельным значением) называется возможно меньшее число Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №38 - открытая онлайн библиотека , про которое известно, что Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №39 - открытая онлайн библиотека .

На практике мы вынуждены брать число Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №38 - открытая онлайн библиотека с запасом, так как точное значение А, как правило, остается неизвестным и, следовательно, невозможно вычислить Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №35 - открытая онлайн библиотека . Знание Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека и Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №38 - открытая онлайн библиотека позволяет установить границы, в которых лежит точное число А, так как из неравенства Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №39 - открытая онлайн библиотека следует, что Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №45 - открытая онлайн библиотека .

Например, запись Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №46 - открытая онлайн библиотека означает, что Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №47 - открытая онлайн библиотека , или Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №48 - открытая онлайн библиотека .

Замечание 1. Если Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека есть приближенное значение числа А, причем предельная абсолютная погрешность равна Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №38 - открытая онлайн библиотека , то говорят, что Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека есть приближенное значение числа А с точностью до Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №38 - открытая онлайн библиотека .

Замечание 2. Известно, что точное значение А некоторого числа находится в интервале Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №53 - открытая онлайн библиотека . Тогда, если его приближенное значение Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №54 - открытая онлайн библиотека , то предельная абсолютная погрешность этого числа равна Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №55 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Известно, что Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №56 - открытая онлайн библиотека .

Если взять за приближенное значение числа Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №57 - открытая онлайн библиотека число Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №58 - открытая онлайн библиотека , то предельная абсолютная погрешность равна: Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №59 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №60 - открытая онлайн библиотека с точностью до 0,005.

Однако абсолютная погрешность сама по себе не характеризует точности вычислений, поскольку она выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина, и, следовательно, ее значение будет меняться, когда изменяются единицы, с помощью которых мы измеряем изучаемую величину.

Для характеристики точности приближенных вычислений вводят понятие относительной погрешности числа Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека , являющегося приближенным значением величины А, которая определяется как отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению числа Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №36 - открытая онлайн библиотека , т.е. Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №63 - открытая онлайн библиотека .

Границей относительной погрешности (ее предельным значением) будем называть возможно меньшее число Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №64 - открытая онлайн библиотека , про которое известно, что

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №65 - открытая онлайн библиотека ,

откуда следует, что Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №66 - открытая онлайн библиотека .

В отличие от абсолютной погрешности, относительная погрешность всегда величина безмерная, обычно выражаемая в процентах.

Пример.При измерении длины l и диаметра d некоторого провода получены значения Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №67 - открытая онлайн библиотека м, Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №68 - открытая онлайн библиотека мм. Вычислить границы относительных погрешностей Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №69 - открытая онлайн библиотека и Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №70 - открытая онлайн библиотека .

Решение:

Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №71 - открытая онлайн библиотека , Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №72 - открытая онлайн библиотека

В процентах имеем: Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №73 - открытая онлайн библиотека , Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №74 - открытая онлайн библиотека

Лекция 13. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ. ПОГРЕШНОСТИ ПРОСТЕЙШИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Округлить число – значит сохранить в нем одну или несколько цифр, считая слева направо, а остальные отбросить.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры в его записи начиная с первой ненулевой слева.

Цифра в представлении приближенного числа десятичной дробью называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Например, если а = 3,7412 ± 0,002 , то цифра 4 верная, так как Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №75 - открытая онлайн библиотека , следовательно, и предыдущие цифры 3 и 7 являются верными; цифра 1 сомнительная, так как Случайная величина. Числовые характеристики дискретной и непрерывной СВ - №76 - открытая онлайн библиотека , следовательно и следующая цифра 2 является сомнительной.

Правило (правило округления). Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями.

При этом если первая из отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.

Если же отбрасывается только одна цифра 5, то последнюю из сохраняемых цифр оставляют без изменения, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Разряды десятичного числа:

Х Х Х Х . Х Х Х Х
тысячи     сотни десятки единицы     десятые сотые тысячные десятитысячные    

Пример: Округлить значение числа а = 145,7183 до единиц, сотых, тысячных, сотен.

Решение:

до единиц: а ≈ 146

до сотых: а ≈ 145,72

до тысячных: а ≈ 145,718

до сотен: а ≈ 100