Сложное сопротивление бруса

Общие положения о сложном сопротивлении

До сих пор рассматривались простейшие виды деформаций, при которых в поперечных сечениях брусьев (балок) возникал один вид внутренних факторов от растяжения (сжатия), сдвига, смятия, кручения, чистого изгиба. Исключение составляет прямой поперечный изгиб балок, когда в сечении х возникают два внутренних силовых фактора – перерезывающая сила и изгибающий момент. Однако и этот вид деформации относят к простейшим, так как, в основном, расчеты на прочность элементов конструкций ведут по изгибающему моменту, определяющему вычисление наибольших нормальных напряжений.

В то же время на практике ряд частей машин, механизмов, элементов конструкций подвергаются одновременно действию нескольких видов деформаций. Так, коленчатые валы машин и механизмов подвергаются действию изгиба и кручения, стойки подкрановых балок – сжатию и изгибу и др. Подобные случаи, сопровождающиеся комбинацией простейших деформаций, называют сложным сопротивлением. При этом в поперечных сечениях брусьев (балок) будет действовать более одного внутреннего силового фактора.

В расчетах на сложное сопротивление исходят из принципа независимости действия сил, когда результат совместного действия нескольких видов деформаций получают суммированием результатов каждого вида деформаций отдельно. Опыт показывает справедливость такого принципа в упругой области работы материала конструкций.

Рассмотрим несколько видов сложного сопротивления: косой изгиб; сочетание изгиба с растяжением (сжатием); совместное действие изгиба и кручения.

Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Различают плоский косой изгиб (все внешние силы лежат в одной плоскости, а упругая линия – плоская кривая) и пространственный изгиб (внешние силы действуют в различных плоскостях, упругая линия – пространственная кривая).

Рассмотрим наиболее простой случай плоского косого изгиба, который в дальнейшем будем называть просто косым изгибом.

Рисунок 9.1 – Косой изгиб бруса  
Сложное сопротивление бруса - №1 - открытая онлайн библиотека Пусть брус прямоугольного поперечного сечения, защемленный одним концом (рис.9.1), изгибается силой Р, действующей перпендикулярно к оси бруса на свободном конце и составляющей угол Сложное сопротивление бруса - №2 - открытая онлайн библиотека к оси y. Разложим силу Р на составляющие ее проекции:

Сложное сопротивление бруса - №3 - открытая онлайн библиотека

Тогда абсолютные значения изгибающих моментов от этих проекций силы Р в сечении х будут:

Сложное сопротивление бруса - №4 - открытая онлайн библиотека

где Сложное сопротивление бруса - №5 - открытая онлайн библиотека – изгибающий момент, действующий вокруг оси y в плоскости Сложное сопротивление бруса - №6 - открытая онлайн библиотека ; Сложное сопротивление бруса - №7 - открытая онлайн библиотека – изгибающий момент, действующий вокруг оси z в плоскости Сложное сопротивление бруса - №8 - открытая онлайн библиотека ; Сложное сопротивление бруса - №9 - открытая онлайн библиотека – результирующий изгибающий момент в сечении х, равный Сложное сопротивление бруса - №10 - открытая онлайн библиотека

Моменты Сложное сопротивление бруса - №5 - открытая онлайн библиотека и Сложное сопротивление бруса - №7 - открытая онлайн библиотека действуют в главных плоскостях инерции сечения бруса. Напряжения и прогибы от каждого из этих моментов, взятых в отдельности, уже определялись ранее. Пользуясь принципом независимости действия сил, можно найти напряжения и прогибы, при одновременном действии моментов Сложное сопротивление бруса - №5 - открытая онлайн библиотека и Сложное сопротивление бруса - №7 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, случай косого изгиба (рис. 9.2, а) можно всегда свести к двум плоским (поперечным), или, как говорят, к простым изгибам.

Сложное сопротивление бруса - №15 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 9.2 – Нагружения при косом изгибе

При действии только одного момента Сложное сопротивление бруса - №7 - открытая онлайн библиотека нейтральной линией будет ось z (рис. 9.2, б) и нормальное напряжение для какой-либо точки N с координатами y и z, взятой в первом квадрате сечения mn (см. рис. 9.1), определяется по формуле:

Сложное сопротивление бруса - №17 - открытая онлайн библиотека

Напряжение в той же точке от действия момента Сложное сопротивление бруса - №5 - открытая онлайн библиотека (рис. 9.2, в) равно:

Сложное сопротивление бруса - №19 - открытая онлайн библиотека

При одновременном действии двух моментов Сложное сопротивление бруса - №5 - открытая онлайн библиотека и Сложное сопротивление бруса - №7 - открытая онлайн библиотека напряжение в любой точке сечения будет равно алгебраической сумме напряжений Сложное сопротивление бруса - №22 - открытая онлайн библиотека и Сложное сопротивление бруса - №23 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Сложное сопротивление бруса - №24 - открытая онлайн библиотека

В эту формулу координаты y и z точек сечения и изгибающие моменты Сложное сопротивление бруса - №5 - открытая онлайн библиотека и Сложное сопротивление бруса - №7 - открытая онлайн библиотека подставляются со своими знаками. Если момент действует таким образом, что в 1-й четверти, где координаты y и z положительны, он вызовет растяжение, то ему приписывается знак «+», а если сжатие, – то « Сложное сопротивление бруса - №27 - открытая онлайн библиотека ».

Наибольшее суммарное напряжение в рассматриваемом случае будет в точках В и С: в т.В ( Сложное сопротивление бруса - №28 - открытая онлайн библиотека ) – напряжение растяжения, а в точке С ( Сложное сопротивление бруса - №29 - открытая онлайн библиотека ) – напряжение сжатия. Уравнение нейтральной линии (рис. 8.50, г) получим, приравнивая нулю правую часть формулы (9.5):

Сложное сопротивление бруса - №30 - открытая онлайн библиотека

или

Сложное сопротивление бруса - №31 - открытая онлайн библиотека

откуда

Сложное сопротивление бруса - №32 - открытая онлайн библиотека

Этому уравнению прямой линии удовлетворяют значения Сложное сопротивление бруса - №33 - открытая онлайн библиотека следовательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Определив из последнего выражения отношение Сложное сопротивление бруса - №34 - открытая онлайн библиотека , найдем тангенс угла Сложное сопротивление бруса - №35 - открытая онлайн библиотека , составляемого нейтральной линией и положительным направлением оси z (рис. 9.2, г):

Сложное сопротивление бруса - №36 - открытая онлайн библиотека

Из формулы (9.7) видно, что для таких сечений, у которых Сложное сопротивление бруса - №37 - открытая онлайн библиотека (квадрат, круг), нейтральная линия будет перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, в котором и будет происходить деформация изгиба.

В тех же случаях, когда Сложное сопротивление бруса - №38 - открытая онлайн библиотека и Сложное сопротивление бруса - №39 - открытая онлайн библиотека или Сложное сопротивление бруса - №40 - открытая онлайн библиотека , нейтральная линия не будет перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента.

Из рассмотренного примера следует, что наиболее напряжены будут точки В и С сечения бруса в месте его заделки, как наиболее удаленные при нейтральной линии. Тогда условие прочности для опасной точки В запишется в виде:

Сложное сопротивление бруса - №41 - открытая онлайн библиотека

где Сложное сопротивление бруса - №42 - открытая онлайн библиотека , Сложное сопротивление бруса - №43 - открытая онлайн библиотека – координаты опасной точки В.

Прогибы при косом изгибе определяются как геометрическая сумма прогибов в координатных плоскостях:

Сложное сопротивление бруса - №44 - открытая онлайн библиотека

где Сложное сопротивление бруса - №45 - открытая онлайн библиотека – прогибы балки в плоскостях соответственно yOx и zOx, которые вычисляются как и при прямом изгибе.