Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №1 - открытая онлайн библиотека

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №2 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты сi находятся по формуле:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №3 - открытая онлайн библиотека

Делениедвух степенных рядов выражается формулой:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №4 - открытая онлайн библиотека

Для определения коэффициентов qn рассматриваем произведение Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №5 - открытая онлайн библиотека , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №6 - открытая онлайн библиотека

Разложение функций в степенные ряды.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №7 - открытая онлайн библиотека .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов - №8 - открытая онлайн библиотека 1 1 - x

1 – x 1 + x + x2 + x3 + …

x

x – x2

x2

x2 – x3

x3

……….