Следствия из уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля является линейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. Линейность уравнения обуславливает возможность использования принципа суперпозиции для потенциала электростатического поля в вакууме, с принципом суперпозиции мы познакомились выше. Дифференциальный характер уравнения Пуассона отражает локальные свойства скалярного поля потенциала Следствия из уравнения Пуассона - №1 - открытая онлайн библиотека . Интегральные свойства поля, естественно, связаны с локальными свойствами. Поскольку мы получили уравнение Пуассона как следствие теоремы Гаусса и условия потенциальности напряженности электростатического поля, несложно показать, что можно было бы провести рассуждения в обратном порядке и получить из уравнения Пуассона формулировку теоремы Гаусса. Это лишний раз подчёркивает глубокую связь между свойствами потенциала и напряженности электростатического поля.

В теории потенциала многие важные соотношения получают с использованием первой и второй теорем Грина (специфические следствия математической теоремы Остроградского-Гаусса) и формулы Грина. Последняя связывает между собой значение потенциала в точке наблюдения с распределением объёмной плотности заряда по контрольному объёму и распределением по контрольной поверхности потенциала и его нормальной производной. Хотя формула Грина не даёт возможности прямого вычисления искомой функции (в теории потенциала нельзя на границе области изменения независимых переменных одновременно задать значение искомой функции и значение её нормальной производной), её часто используют для нахождения формы решения и (или) сведения краевой задачи математической физики к интегральному уравнению.

2.5.4. Вариационный принцип в электростатике.

Фундаментальное значение в современной физике имеют так называемые «вариационные принципы». Первый в истории физики вариационный принцип сформулировал Герон Александрийский в III веке до н.э. Он постулировал, что луч света в системе оптических зеркал из исходной точки в конечную точку проходит по наикратчайшему пути. В элементарном курсе физики известно утверждение, что в состоянии равновесия механическая система имеет наименьшую потенциальную энергию. В электростатике тоже имеет место нечто подобное. Оказывается, что выражение Следствия из уравнения Пуассона - №2 - открытая онлайн библиотека

Следствия из уравнения Пуассона - №3 - открытая онлайн библиотека ,(1)

вычисленное по бесконечному пространству при произвольном распределении Следствия из уравнения Пуассона - №4 - открытая онлайн библиотека и известном распределении Следствия из уравнения Пуассона - №5 - открытая онлайн библиотека (характер поведения обеих функций на бесконечности должен обеспечивать условия существования интеграла), для реального электростатического поля имеет минимальное значение. Заметим, что для каждой функции Следствия из уравнения Пуассона - №4 - открытая онлайн библиотека величина Следствия из уравнения Пуассона - №2 - открытая онлайн библиотека принимает некоторое конкретное значение. Говорят, что Следствия из уравнения Пуассона - №2 - открытая онлайн библиотека является вариационным функционалом, определенным на множестве функций Следствия из уравнения Пуассона - №4 - открытая онлайн библиотека . В вариационном исчислении (раздел математической теории) доказывают, что минимум функционала Следствия из уравнения Пуассона - №10 - открытая онлайн библиотека достигается, если Следствия из уравнения Пуассона - №4 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет уравнению Пуассона. Эквивалентная форма записи вариационного функционала имеет вид:

Следствия из уравнения Пуассона - №12 - открытая онлайн библиотека .(2)

В этой форме неявно содержится понятие «объёмная плотность энергии электростатического поля», о которой мы поговорим ниже.