Скорость фильтрации

При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

Q=`w Fп , (1.21)

где `w - действительная средняя скорость жидкости;

Fп - площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2 ms= Fп/F), а для неупорядоченных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно

Q=`w m F , (1.22)

Величина

u= `w m. (1.23)

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Т.к. m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней. Физический смысл введения скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (1.23).

1.3.1.2 . Закон Дарси (линейный закон фильтрации)

В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации - закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н12 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рис.1.8).

Напор для несжимаемой жидкости имеет вид Скорость фильтрации - №1 - открытая онлайн библиотека ,где

z- высота положения;

р/g - пьезометрическая высота;

g - объёмный вес;

u- скорость движения жидкости.

Т.к. при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина Скорость фильтрации - №2 - открытая онлайн библиотека . Закон Дарси имеет вид:

Скорость фильтрации - №3 - открытая онлайн библиотека , (1.24)

где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.

Скорость фильтрации - №4 - открытая онлайн библиотека

Рис. 1.8. Схема наклонного пласта.

Закон Дарси показывает, что между потерей напора и расходом существует линейная связь.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

Скорость фильтрации - №5 - открытая онлайн библиотека (1.25)

или в векторной форме

Скорость фильтрации - №6 - открытая онлайн библиотека , (1.26)

где s - расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде:

Скорость фильтрации - №7 - открытая онлайн библиотека (1.27)

или

Скорость фильтрации - №8 - открытая онлайн библиотека , (1.28)

где h- коэффициент динамической вязкости;

k- коэффициент проницаемости, характеризующий среду;

р=g H - приведённое давление, равное истинному при z=0.

В системе СИ [k]=м2. В смешанной системе, когда [p]=кГ/см2, [h]=0.01г/см.с=1спз, [s] =см, [u]=см/с, k измеряется в дарси (1д=1мкм2=10-12м2 =10-8см2). Тысячная доля дарси называется миллидарси.

Из сравнения (1.25) и (1.28) имеем

Скорость фильтрации - №9 - открытая онлайн библиотека . (1.29)

Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах k=100-1000мд, а для глин характерны значения проницаемости в тысячные доли миллидарси.

Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, т.е. размерами и формой частиц и системой их упаковки.

Имеется множество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из закона Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при той или иной схематизованной модели пористой среды. Поскольку реальные породы не укладываются в рамки этих геометрических моделей, то теоретические расчеты проницаемости ненадёжны. Поэтому обычно проницаемость определяют опытным путём.