Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля

Рассмотрим систему уравнений Максвелла

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №1 - открытая онлайн библиотека , (1)

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №2 - открытая онлайн библиотека , (2)

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №3 - открытая онлайн библиотека , (3)

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №4 - открытая онлайн библиотека . (4)

Заметим, что уравнения для «силовых» характеристик электромагнитного поля, т.е. для векторов Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №5 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека , (уравнения (1), (2)) являются однородными относительно искомых переменных. Последнее позволяет ввести «потенциалы электромагнитного поля». Целесообразность такого шага рассмотрим ниже.

Рассмотрим уравнение (1). Легко видеть, что оно тождественно удовлетворяется, если положить

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №7 - открытая онлайн библиотека , (5)

где Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека – вспомогательное векторное поле, которое назовем векторным потенциалом электромагнитного поля.

Подставим соотношение (5) в уравнение (2), поменяем порядок вычисления пространственных производных (операция Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №9 - открытая онлайн библиотека ) и производной по времени, перенесем все члены уравнения в левую часть и воспользуемся свойством линейности оператора rot, в итоге получим:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №10 - открытая онлайн библиотека . (6)

Полученное уравнение представляет собой локальное условие потенциальности суммарного векторного поля Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №11 - открытая онлайн библиотека , что приводит к соотношению:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №12 - открытая онлайн библиотека , (7) поле Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №13 - открытая онлайн библиотека назовем скалярным потенциалом электромагнитного поля.

Заметим, что определения векторного (5) и скалярного (7) потенциалов электромагнитного поля по своей форме записи «неявные»: требуется подобрать такие векторное и скалярное поля, чтобы выполнялись условия (5) и (7). Обратим внимание на то обстоятельство, что с введением в рассмотрение скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля два из четырех уравнений Максвелла обращаются в тождество, тем самым достигается значительное упрощение системы уравнений электродинамики.

Использование скалярного (7) и векторного (5) потенциалов в уравнениях (3) и (4) исходной системы уравнений Максвелла позволяет получить систему двух связанных между собой уравнений для определения полей j и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека . Чтобы избежать излишней сложности, затемняющей суть вопроса, ниже рассмотрим систему уравнений Максвелла для однородной изотропной среды, для которой справедливы соотношения:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №15 - открытая онлайн библиотека . (8)

Умножим каждый член уравнения (4) на величину mm0, введем эту величину под знак оператора rot в левой части уравнения, а в последнем члене правой части вынесем из-под знака производной по времени величину ee0, воспользуемся известным соотношением векторного анализа:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №16 - открытая онлайн библиотека (9)

и после несложных преобразований получим:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №17 - открытая онлайн библиотека . (10)

В уравнении (3) используем связь векторов Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №18 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека , а также, определение (7). Если вспомнить известное соотношение векторного анализа

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №20 - открытая онлайн библиотека , (11)

то после несложных преобразований будем иметь:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №21 - открытая онлайн библиотека . (12)

Значимость и практическая полезность потенциалов электромагнитного поля определяется возможностью восстановления распределений j и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №22 - открытая онлайн библиотека по известным распределениям в пространстве плотностей источников электромагнитного поля.

Введение понятий скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля привело к уменьшению числа искомых функций: вместо двух векторных (шесть компонент!) функций Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №23 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №24 - открытая онлайн библиотека , именно к определению их может быть сведена система уравнений Максвелла, можно рассматривать одну скалярную и одну векторную функцию, т.е. всего четыре компоненты. Платой за достигнутое «упрощение» является повышение порядка системы уравнений (10) и (12) относительно потенциалов электромагнитного поля.

Заметим, что в пределах применимости классической электродинамики потенциалы электромагнитного поля непосредственно принципиально не наблюдаемы (в отличие от «силовых характеристик» поля).

При выводе уравнений (10) и (12) не использовались дополнительные возможности, обусловленные внутренней природой (математической структурой) потенциалов электромагнитного поля. Дело в том, что физические характеристики электромагнитного поля (и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №5 - открытая онлайн библиотека , и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека ) в соответствии с определениями (5) и (7) позволяют выбрать потенциалы некоторым удобным для данного конкретного случая образом (неоднозначность потенциалов). Такой выбор и называют калибровкой. Основная идея калибровки потенциалов электромагнитного поля состоит в том, что поля Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №5 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека не должны изменяться при том или ином варианте выбора потенциалов Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека и j.

Легко проверить, что одновременная замена потенциалов электромагнитного поля

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №30 - открытая онлайн библиотека , (13)

где Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №31 - открытая онлайн библиотека – произвольная скалярная функция, не изменяет значения векторных полей Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №5 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека . С этой точки зрения потенциалы Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека и j эквивалентны потенциалам Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №35 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №36 - открытая онлайн библиотека . Говорят, что физические величины Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №5 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека инвариантны по отношению к калибровочным преобразованиям (13). В развитие этого положения требуют, чтобы все уравнения, описывающие электромагнитное поле, обладали указанной калибровочной (или градиентной) инвариантностью. Более того, идея калибровочной инвариантности из классической электродинамики была перенесена на всю теорию поля в качестве эвристического принципа.

В электродинамике широко используется так называемая «лоренцева калибровка», в которой выполнено дополнительное условие

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №39 - открытая онлайн библиотека . (14)

Это условие действительно может быть выполнено. Если взять произвольные потенциалы Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека и j, применить к ним преобразование (13) и потребовать для «новых» потенциалов Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №35 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №36 - открытая онлайн библиотека выполнения условия (14), то, оказывается, что для определения искомой функции f достаточно построить частное решение уравнения

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №43 - открытая онлайн библиотека , (15)

что вполне выполнимо, поскольку правая часть рассматриваемого уравнения является известной функцией координат и времени.

Из условия (14) следует

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №44 - открытая онлайн библиотека . (16)

Легко видеть, что использование лоренцевой калибровки (14) в уравнениях (10) и (12) приводит к следующему результату:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №45 - открытая онлайн библиотека , (17)

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №46 - открытая онлайн библиотека . (18)

Если ввести в рассмотрение оператор Даламбера

 Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №47 - открытая онлайн библиотека , (19)

обычно используемый при описании волновых явлений, то уравнения (17) и (18) можно представить в очень компактной форме

ÿ Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №48 - открытая онлайн библиотека , (20)

 Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №49 - открытая онлайн библиотека . (21)

Лоренцева калибровка потенциалов электромагнитного поля оставляет возможным наложить на выбор потенциалов еще одно дополнительное условие. Можно, например, в дополнение к условию лоренцевой калибровки (14) потребовать выполнения условия:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №50 - открытая онлайн библиотека , (22)

что эквивалентно условию Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №51 - открытая онлайн библиотека , т.е. Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №52 - открытая онлайн библиотека с точностью до произвольной постоянной.

Если векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют условиям (14) и (22), то говорят о «кулоновской» (или поперечной) калибровке. Выбор термина «кулоновская калибровка» определяется тем, что при этом уравнение (21) приобретает вид:

Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №53 - открытая онлайн библиотека . (23)

Это уравнение Пуассона для скалярного потенциала j – основное уравнение для одного из разделов электродинамики, раздела «электростатика», в котором кулоновское взаимодействие играет центральную роль. В силу того, что Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №52 - открытая онлайн библиотека , правая часть уравнения (23) тоже должна быть функцией только пространственных координат: Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №55 - открытая онлайн библиотека .

Как можно убедиться, цепочка следствий из предположения (22) достаточно велика и следствия весьма нетривиальны.

Подведем некоторые итоги.

Во-первых, заметим, что уравнения (20) и (21) не полностью эквивалентны системе уравнений Максвелла, но по внешнему виду проще: формально их можно рассматривать раздельно, структура их решений одинакова в силу того, что структура уравнений идентична. В учебной и научной литературе по электродинамике этому обстоятельству придается большое значение. Вместе с тем заметим, что раздельное, независимое рассмотрение уравнений (20) и (21) приводит к более широкому набору возможных решений, чем это допускает система уравнений Максвелла. В качестве примера можно рассмотреть вопрос о плоских электромагнитных волнах в вакууме. Система уравнений Максвелла для непроводящей изотропной среды позволяет выявить такие свойства электромагнитной волны как поперечность, взаимную ортогональность векторов напряженности электрического поля Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №23 - открытая онлайн библиотека и напряженности магнитного поля Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №57 - открытая онлайн библиотека , совпадение фаз процессов колебаний в рассматриваемой точке пространства и т.д. В то же время система уравнений (20) и (21) позволяет только сделать вывод о том, что распространение возмущений скалярного поля j и векторного поля Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №22 - открытая онлайн библиотека происходит с одинаковой фазовой скоростью. Но если к анализу привлечь ещё и условие лоренцевой калибровки (14), то можно получить все результаты электродинамики в отношении рассматриваемого типа волн.

Во-вторых, структура уравнений, описывающих потенциалы электромагнитного поля Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека и j в форме (20) – (21) с очевидностью выявляет волновую природу электромагнитного поля, что подтверждает выполнение принципа близкодействия как основы электродинамики. Возможность нетривиальных решений уравнений (20)-(21) для вакуума позволяет говорить о физической реальности электромагнитного поля.

В-третьих, форма записи уравнений (20) и (21) для потенциалов наглядно выявляет объёмные источники соответствующих полей - Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №60 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №61 - открытая онлайн библиотека , т.е. объёмную плотность электрического заряда и объёмную плотность тока проводимости.

В-четвертых, определенная законченность и симметрия формы уравнений (20)-(21) не могут не рождать чувства эстетического удовлетворения.

Замечание. Все рассуждения настоящего раздела не затрагивали так называемых граничных условий, постановка которых необходима при описании электромагнитного поля в ограниченной области пространства (в безграничной области чаще всего подразумевается, что эти условия «на бесконечности» однородные). В реальных ситуациях дополнительно оказывается, что решения «независимых» между собой уравнений (20) – (21) взаимосвязаны из-за того, что граничные условия являются «комбинированными»: они, как правило, содержат и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека , и j (и, возможно, их производные). Последнее затрудняет решение практической задачи нахождения полей Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №8 - открытая онлайн библиотека и j, следовательно, и полей Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №5 - открытая онлайн библиотека и Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля - №6 - открытая онлайн библиотека .

В заключение раздела ещё раз подчеркнем важность требования калибровочной инвариантности системы уравнений для потенциалов электромагнитного поля и то обстоятельство, что условие лоренцевой калибровки является полноправной обязательной частью системы уравнений классической электродинамики, записанной для потенциалов электромагнитного поля.