Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов - №1 - открытая онлайн библиотека Углом между векторами Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека называется угол Скалярное произведение двух векторов - №4 - открытая онлайн библиотека , на который следует повернуть один из векторов, для того чтобы их направления совпали (рис.3).

Условимся в дальнейшем под углом между двумя векторами понимать угол Скалярное произведение двух векторов - №5 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющий условию Скалярное произведение двух векторов - №6 - открытая онлайн библиотека .

Скалярным произведением векторов Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается Скалярное произведение двух векторов - №9 - открытая онлайн библиотека или Скалярное произведение двух векторов - №10 - открытая онлайн библиотека , таким образом

Скалярное произведение двух векторов - №11 - открытая онлайн библиотека (6)

Теорема 1. Для того, чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть векторы Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека ортогональны, т.е. Скалярное произведение двух векторов - №14 - открытая онлайн библиотека . Тогда Скалярное произведение двух векторов - №15 - открытая онлайн библиотека , и согласно формуле (6) скалярное произведение Скалярное произведение двух векторов - №16 - открытая онлайн библиотека равно нулю.

2. Достаточность. Пусть Скалярное произведение двух векторов - №17 - открытая онлайн библиотека . Если один из векторов является нулевым, то утверждение доказано, т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору. Если же Скалярное произведение двух векторов - №18 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №19 - открытая онлайн библиотека , то Скалярное произведение двух векторов - №20 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №21 - открытая онлайн библиотека . Тогда из формулы (6) и условия Скалярное произведение двух векторов - №17 - открытая онлайн библиотека следует, что Скалярное произведение двух векторов - №23 - открытая онлайн библиотека . Значит Скалярное произведение двух векторов - №24 - открытая онлайн библиотека , т.е. векторы Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека ортогональны.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1) Скалярное произведение двух векторов - №27 - открытая онлайн библиотека ;

2) Скалярное произведение двух векторов - №28 - открытая онлайн библиотека ;

3) Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый, т.е.

Скалярное произведение двух векторов - №29 - открытая онлайн библиотека ;

4) Скалярное произведение двух векторов - №30 - открытая онлайн библиотека ;

5) Скалярное произведение двух векторов - №31 - открытая онлайн библиотека

Пусть даны два вектора, разложенные по базису Скалярное произведение двух векторов - №32 - открытая онлайн библиотека :

Скалярное произведение двух векторов - №33 - открытая онлайн библиотека .

Найдем Скалярное произведение двух векторов - №34 - открытая онлайн библиотека

Скалярное произведение двух векторов - №35 - открытая онлайн библиотека . Принимая во внимание, что базис ортонормированный, т.е. Скалярное произведение двух векторов - №36 - открытая онлайн библиотека , получим Скалярное произведение двух векторов - №37 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат, т.е.

Скалярное произведение двух векторов - №38 - открытая онлайн библиотека ( 7 ).

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов, заданных координатами является:

Скалярное произведение двух векторов - №39 - открытая онлайн библиотека ( 8 )

Из формулы (6) получим формулу для косинуса угла между векторами Скалярное произведение двух векторов - №2 - открытая онлайн библиотека и Скалярное произведение двух векторов - №3 - открытая онлайн библиотека :

Скалярное произведение двух векторов - №42 - открытая онлайн библиотека ( 9 )