Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих прикладных задач требуется найти функции Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека , …, Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека , которые удовлетворяют системе уравнений, содержащих независимую переменную х, искомые функции Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека , …, Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека и их производные, т.е. системе дифференциальных уравнений:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека

Говорят при этом, что система дифференциальных уравнений имеет порядок п1 относительно неизвестной у1, порядок п2 относительно у2, и т.д. Порядком системы называют число Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №8 - открытая онлайн библиотека . Доказано, что всякую систему дифференциальных уравнений можно преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека

Общую теорию систем дифференциальных уравнений и методы их интегрирования рассмотрим на примере системы двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций. Для удобства механической интерпретации такой системы независимую переменную обозначим t, а искомые функции – Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №10 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека . В этом случае система дифференциальных уравнений имеет вид

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека (1)

порядок этой системы равен сумме порядков её уравнений, т.е. равен двум.

Если в системе (4.1) каждое из уравнений разрешено относительно производной одной из неизвестных функций:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека (2)

то говорят, что система дифференциальных уравнений записана в нормальной форме. Порядком нормальной системы дифференциальных уравнений называют число входящих в нее уравнений.

Определение 1

Решением системы дифференциальных уравнений (1) (или (2)) называется любая пара непрерывно дифференцируемых на интервале Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека функций Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека , которые при подстановке в систему обращают оба ее уравнения в тождества при всех Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека .

Процесс нахождения решения системы дифференциальных уравнений называется интегрированием этой системы.

Определение 2

Пусть Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека – решение системы дифференциальных уравнений (2) (или (4)). График решения, т.е. совокупность точек Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека трехмерногопространства Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека , tÎ Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека , называется интегральной кривой этой системы.

Определение 3

Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений (2) называется задача отыскания решения Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №23 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №24 - открытая онлайн библиотека этой системы, удовлетворяющего начальным условиям

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №25 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №26 - открытая онлайн библиотека Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №27 - открытая онлайн библиотека , (3)

где Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №28 - открытая онлайн библиотека – заданные числа.

Для системы (2) справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема.1(Коши)

Если функции Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека и Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №30 - открытая онлайн библиотека непрерывны вместе со своими частными производными по x и y в некоторой области D трехмерного пространства Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека , то для любой внутренней точки Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №32 - открытая онлайн библиотека ÎD существует единственное решение Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №34 - открытая онлайн библиотека системы дифференциальных уравнений (2), удовлетворяющее условиям Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №36 - открытая онлайн библиотека .

Пусть D – область пространства переменных Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №37 - открытая онлайн библиотека , в которой выполнены условия теоремы Коши.

Определение 4

Совокупность функций Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №38 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №39 - открытая онлайн библиотека , зависящих от произвольных постоянных Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека , и непрерывно дифференцируемых по t, называется общим решениемсистемы дифференциальных уравнений (2) в области D, если

1) эти функции удовлетворяют систем (2) при любых значениях постоянных С1, C2;

2) для любых начальных условий Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №36 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №32 - открытая онлайн библиотека ÎD, существуют такие значения постоянных Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №44 - открытая онлайн библиотека Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №45 - открытая онлайн библиотека , что функции Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №46 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №47 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет этим начальным условиям:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №48 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №49 - открытая онлайн библиотека .

Определение 5

Решение Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №50 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №51 - открытая онлайн библиотека , полученное из общего решения Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №52 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №53 - открытая онлайн библиотека при конкретных значениях постоянных Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №54 - открытая онлайн библиотека , называется частным решением системы дифференциальных уравнений (2).

Задача Коши, по существу, есть задача нахождения частного решения заданной системы дифференциальных уравнений. Геометрически – это задача отыскания интегральной кривой системы (2), проходящей через данную точку Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №32 - открытая онлайн библиотека пространства Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №57 - открытая онлайн библиотека

Независимую переменную t будем рассматривать как некоторый параметр (например, время), а совокупность значений функций

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №34 - открытая онлайн библиотека как прямоугольные декартовы координаты точки плоскости Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека . Эту плоскость будем называть фазовой плоскостью (или фазовым пространством), точку Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №61 - открытая онлайн библиотека – фазовой точкой, скорость движения этой точки – фазовой скоростью.

Пусть материальная точка М движется в плоскости Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека . В механике уравнения движения обычно записывают в параметрической форме

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №63 - открытая онлайн библиотека

где Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №61 - открытая онлайн библиотека – координаты движущейся точки М в момент времени t, которые являются функциями времени t. Известно, что скорость движения (вообще говоря, переменная) характеризуется вектором Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №65 - открытая онлайн библиотека . В общем случае, скорость движения зависит от времени и положения точки Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №61 - открытая онлайн библиотека . Если эта зависимость известна, то имеем

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №67 - открытая онлайн библиотека (4)

Получили систему дифференциальных уравнений. Значит, уравнения системы устанавливают зависимость координат вектора скорости Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №68 - открытая онлайн библиотека от времени t и положения точки на фазовой плоскости. Если рассматривать задачу Коши, то начальные условия Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №36 - открытая онлайн библиотека задают положение точки в начальный момент времени Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, система дифференциальных уравнений (.4) определяет в фазовой плоскости множество векторов скоростей движущейся точки – векторное поле скоростей. Всякое решение

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №72 - открытая онлайн библиотека

системы дифференциальных уравнений представляет собой закон движения точки, поэтому решение называют просто движением, определяемым системой (4). Уравнения движения Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №72 - открытая онлайн библиотека определяют также и траекторию этого движения в фазовой плоскости – фазовую траекторию. При этом вектор скорости в каждой точке фазовой траектории совпадает с вектором Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №74 - открытая онлайн библиотека заданного поля скоростей. Множество всех решений системы определяет множество фазовых траекторий, которые мы будем называть фазовым портретом системы дифференциальных уравнений. Не следует путать фазовые траетории и интегральные кривые системы дифференциальных уравнений: фазовые траектории представляют собой проекцииинтегральных кривых пространства Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека на плоскость Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека (рисунок 4.1).

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №77 - открытая онлайн библиотека В связи с такой механической интерпретацией системы дифферен­циаль­ных уравнений эту систему принято называть динамической.

Если в этих рассуждениях отвлечься от чисто механической природы движения и рассмотреть движение как некоторый процесс (эволюционный, работу прибора, радиоактивный распад, размножение бактерий и т.п.), то фазовое пространство есть множество состояний этого процесса (раньше состояние процесса называли фазой – отсюда и используемый термин). Значит,система дифференциальных уравнений определяет множество возможных состояний описываемого ею процесса.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №78 - открытая онлайн библиотека Если система (4.4) такова, что в некоторой точке Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №79 - открытая онлайн библиотека ее правые части равны нулю для всех рассматриваемых значений t, т.е.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека

то эта система имеет решение Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №81 - открытая онлайн библиотека . Такое решение называется состоянием покоя или состоянием равновесия. Интегральная кривая этого решения – прямая, а фазовая траектория – точка Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №79 - открытая онлайн библиотека (т.е. точка М на самом деле не движется, т.к. фазовые скорости равны нулю, рисунок 4.2). Точку Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №79 - открытая онлайн библиотека называют точкой покоя или положением равновесия.

Из динамических систем наиболее важную роль играют автономные системы.

Если функции Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №84 - открытая онлайн библиотека в системе дифференциальных уравнений (4.4) не зависят явно от t, то эта система называется автономной(стационарной):

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №85 - открытая онлайн библиотека

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №86 - открытая онлайн библиотека Автономность системы означает, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой дифференциальных уравнений, не меняется с течением времени, что обычно и бывает с физическими законами. Иными словами, если

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №87 - открытая онлайн библиотека Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №88 - открытая онлайн библиотека

есть решение системы дифференциальных уравнений

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №89 - открытая онлайн библиотека

то функции Системы обыкновенных дифференциальных уравнений - №90 - открытая онлайн библиотека где t – const, также есть решение этой системы. Решения отличаются только сдвигом во времени, им соответствуют различные интегральные кривые, но одна и та же фазовая траектория (рисунок 4.3).

Для автономной системы поле скоростей стационарно (не меняется во времени) и движение является установившимся. Причем, если выполняются условия теоремы существования и единственности, то через каждую точку фазового пространства автономной системы проходит единственная фазовая траектория.