Системы линейных уравнений с двумя переменными

8.3. Основные понятия

Определение: Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида Системы линейных уравнений с двумя переменными - №1 - открытая онлайн библиотека , где x, y – переменные, a, b, c – некоторые числа.

Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Пример:2x – y = 5 – линейное уравнение с двумя переменными x и y.

(0; –5); (2; –1); (5; 5) – решения линейного уравнения 2x – y = 5.

Вывод:

  1. Линейное уравнение с двумя переменными Системы линейных уравнений с двумя переменными - №1 - открытая онлайн библиотека имеет бесконечное множество решений.

2.

-1
-5
х
у
Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения (графиком уравнения Системы линейных уравнений с двумя переменными - №1 - открытая онлайн библиотека является прямая).

Пример: Системы линейных уравнений с двумя переменными - №4 - открытая онлайн библиотека или Системы линейных уравнений с двумя переменными - №5 - открытая онлайн библиотека

x
y – 5 – 1

Определение: Система линейных уравнений с двумя переменными имеет вид Системы линейных уравнений с двумя переменными - №6 - открытая онлайн библиотека

a1, а2 - коэффициенты при x,

b1, b2 - коэффициенты при y,

c1 , c2 - свободные члены.

Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Определение: Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

8.4. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными графически, подстановкой, сложением

х
-3
у
-2
l1
l2
М

1. Графический способ

Пример:Решить графически систему уравнений:

1) Системы линейных уравнений с двумя переменными - №7 - открытая онлайн библиотека

Системы линейных уравнений с двумя переменными - №8 - открытая онлайн библиотека

l1: l2:

x - 2   x - 3
y   y

Координаты любой точки прямой l1 являются решениями уравнения 2x + 3y = 5.

Координаты любой точки прямой l2 являются решениями уравнения 3x – y = – 9.

Координаты x = – 2, y = 3 точки М пересечения прямых l1 и l2 удовлетворяют обоим уравнениям системы, то есть являются решением системы.

Ответ:(- 2; 3) – единственное решение системы.

y
1
-1
0
x
l1(l2)
2) Системы линейных уравнений с двумя переменными - №9 - открытая онлайн библиотека

y = Системы линейных уравнений с двумя переменными - №10 - открытая онлайн библиотека ; y = Системы линейных уравнений с двумя переменными - №11 - открытая онлайн библиотека y = Системы линейных уравнений с двумя переменными - №12 - открытая онлайн библиотека – l1

y = Системы линейных уравнений с двумя переменными - №13 - открытая онлайн библиотека ; y = Системы линейных уравнений с двумя переменными - №14 - открытая онлайн библиотека ; y = Системы линейных уравнений с двумя переменными - №15 - открытая онлайн библиотека – l2

Прямые l1 и l2 совпадают. Координаты любой точки прямой являются решениями обоих уравнений системы.

х
у - 1

х
y
l1
l2
Ответ: Система имеет бесконечное множество решений Системы линейных уравнений с двумя переменными - №16 - открытая онлайн библиотека .

3) Системы линейных уравнений с двумя переменными - №17 - открытая онлайн библиотека Û Системы линейных уравнений с двумя переменными - №18 - открытая онлайн библиотека

l1: l2:

х   х
у у

Прямые l1 и l2 параллельны и не имеют общих точек.

Ответ:Система не имеет решений.

2. Способ подстановки

1) Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

2) Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение.

3) Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4) Найти соответствующее значение другой переменной.

Пример:Решить систему уравнений способом подстановки:

1) Системы линейных уравнений с двумя переменными - №19 - открытая онлайн библиотека Û Системы линейных уравнений с двумя переменными - №20 - открытая онлайн библиотека Û Системы линейных уравнений с двумя переменными - №21 - открытая онлайн библиотека

2x + 9x + 27 = 5; 11 x = – 22; x = – 2;

y = 3× ( – 2) + 9; y = 3.

Ответ:( –2; 3)

2) Системы линейных уравнений с двумя переменными - №22 - открытая онлайн библиотека Û Системы линейных уравнений с двумя переменными - №23 - открытая онлайн библиотека Û Системы линейных уравнений с двумя переменными - №24 - открытая онлайн библиотека

Системы линейных уравнений с двумя переменными - №25 - открытая онлайн библиотека ; Системы линейных уравнений с двумя переменными - №26 - открытая онлайн библиотека Системы линейных уравнений с двумя переменными - №27 - открытая онлайн библиотека ; 15 = 15.

Ответ:Система имеет бесконечное множество решений Системы линейных уравнений с двумя переменными - №16 - открытая онлайн библиотека

3) Системы линейных уравнений с двумя переменными - №17 - открытая онлайн библиотека Û Системы линейных уравнений с двумя переменными - №30 - открытая онлайн библиотека

Системы линейных уравнений с двумя переменными - №31 - открытая онлайн библиотека 6 Системы линейных уравнений с двумя переменными - №32 - открытая онлайн библиотека 4