Системы и совокупности уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными Системы и совокупности уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека и Системы и совокупности уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека где Системы и совокупности уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека Системы и совокупности уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений:

Системы и совокупности уравнений - №5 - открытая онлайн библиотека (15)

Решить систему (15) – значит найти все пары чисел Системы и совокупности уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека , которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.

Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.

Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:

1) менять порядок следования уравнений;

2) умножать на число Системы и совокупности уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека , любое уравнение;

3) умножать на Системы и совокупности уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека , одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.

Несколько уравнений образуют совокупность уравнений Системы и совокупности уравнений - №9 - открытая онлайн библиотека , если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входит в область определения остальных уравнений.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:

Системы и совокупности уравнений - №10 - открытая онлайн библиотека (16)

Системы и совокупности уравнений - №11 - открытая онлайн библиотека .

Геометрически, каждому уравнению системы (16) соответствует прямая линия на плоскости:

Системы и совокупности уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека и Системы и совокупности уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека

Справедливы утверждения:

1) если Системы и совокупности уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека , то система (16) имеет единственное решение (геометрически – прямые Системы и совокупности уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека пересекаются в определенной точке);

2) если Системы и совокупности уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека , то система (16) не имеет решений (прямые Системы и совокупности уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека параллельны);

3) если Системы и совокупности уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека , то система (16) имеет бесконечно много решений (прямые Системы и совокупности уравнений - №19 - открытая онлайн библиотека и Системы и совокупности уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека – совпадают).

Основными методами решения систем уравнений (15) являются:

1) метод подстановки;

2) метод исключения неизвестной;

3) метод сложения;

4) метод умножения (деления) уравнений;

5) метод замены переменных;

6) графический метод.

Пример 1.Решить систему Системы и совокупности уравнений - №21 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на Системы и совокупности уравнений - №22 - открытая онлайн библиотека и прибавим ко второму:

Системы и совокупности уравнений - №23 - открытая онлайн библиотека ,откуда следует Системы и совокупности уравнений - №24 - открытая онлайн библиотека

Получаем

Системы и совокупности уравнений - №25 - открытая онлайн библиотека , т.е. Системы и совокупности уравнений - №26 - открытая онлайн библиотека . Значит,

Системы и совокупности уравнений - №27 - открытая онлайн библиотека

Заданная система сводится к решению совокупности систем:

Системы и совокупности уравнений - №28 - открытая онлайн библиотека

Ее решением являются пары чисел Системы и совокупности уравнений - №29 - открытая онлайн библиотека ; Системы и совокупности уравнений - №30 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2.Решить систему Системы и совокупности уравнений - №31 - открытая онлайн библиотека

Решение. ОДЗ: Системы и совокупности уравнений - №32 - открытая онлайн библиотека

Заменим в первом уравнении системы Системы и совокупности уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека , тогда Системы и совокупности уравнений - №34 - открытая онлайн библиотека

Получим дробно-рациональное уравнение:

Системы и совокупности уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека .

Решаем его

Системы и совокупности уравнений - №36 - открытая онлайн библиотека ; Системы и совокупности уравнений - №37 - открытая онлайн библиотека ; Системы и совокупности уравнений - №38 - открытая онлайн библиотека

Возвращаемся к переменным х, у:

Системы и совокупности уравнений - №39 - открытая онлайн библиотека подходит по ОДЗ.

Получили ответ: Системы и совокупности уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека .

Пример 3.Решить системуСистемы и совокупности уравнений - №41 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные Системы и совокупности уравнений - №42 - открытая онлайн библиотека входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных Системы и совокупности уравнений - №43 - открытая онлайн библиотека .

Системы и совокупности уравнений - №44 - открытая онлайн библиотека (17)

Далее используем метод сложения:

Системы и совокупности уравнений - №45 - открытая онлайн библиотека , т.е. Системы и совокупности уравнений - №46 - открытая онлайн библиотека .

Получаем корни этого квадратного уравнения:

Системы и совокупности уравнений - №47 - открытая онлайн библиотека

С учетом системы (17) приходим:

Системы и совокупности уравнений - №48 - открытая онлайн библиотека

Возвращаясь к переменным х, у, получаем

Системы и совокупности уравнений - №49 - открытая онлайн библиотека

Решим записанные системы отдельно:

1) Системы и совокупности уравнений - №50 - открытая онлайн библиотека (18)

Системы и совокупности уравнений - №51 - открытая онлайн библиотека ,

Системы и совокупности уравнений - №52 - открытая онлайн библиотека

Системы и совокупности уравнений - №53 - открытая онлайн библиотека

Возвращаясь к системе (18), получаем

Системы и совокупности уравнений - №54 - открытая онлайн библиотека

т.е. имеем два решения Системы и совокупности уравнений - №55 - открытая онлайн библиотека и Системы и совокупности уравнений - №56 - открытая онлайн библиотека .

2) Системы и совокупности уравнений - №57 - открытая онлайн библиотека (19)

Системы и совокупности уравнений - №58 - открытая онлайн библиотека ,

Системы и совокупности уравнений - №59 - открытая онлайн библиотека .

Поскольку для последнего квадратного уравнения Системы и совокупности уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека , система (19) не имеет решения.

Получили ответ: Системы и совокупности уравнений - №61 - открытая онлайн библиотека Системы и совокупности уравнений - №62 - открытая онлайн библиотека .

Пример 4.Решить графически:

1) Системы и совокупности уравнений - №63 - открытая онлайн библиотека (20)

2) Системы и совокупности уравнений - №64 - открытая онлайн библиотека

Решение.

1. Исходя из геометрического смысла, Системы и совокупности уравнений - №65 - открытая онлайн библиотека – уравнение окружности с центром Системы и совокупности уравнений - №66 - открытая онлайн библиотека и радиусом Системы и совокупности уравнений - №67 - открытая онлайн библиотека ; Системы и совокупности уравнений - №68 - открытая онлайн библиотека – прямая, параллельная оси Системы и совокупности уравнений - №69 - открытая онлайн библиотека и проходящая через точку Системы и совокупности уравнений - №70 - открытая онлайн библиотека

Построим эти линии (рис. 1).

Графики имеют 2 точки пересечения, т.е. система имеет 2 решения, которые найдем из системы (20):

 
  Системы и совокупности уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека

Рис.1

Системы и совокупности уравнений - №72 - открытая онлайн библиотека

Получили ответ: Системы и совокупности уравнений - №73 - открытая онлайн библиотека , Системы и совокупности уравнений - №74 - открытая онлайн библиотека .

2. Уравнение Системы и совокупности уравнений - №75 - открытая онлайн библиотека может быть записано в виде Системы и совокупности уравнений - №76 - открытая онлайн библиотека и является уравнением гиперболы .

Уравнение Системы и совокупности уравнений - №77 - открытая онлайн библиотека может быть записано в виде Системы и совокупности уравнений - №78 - открытая онлайн библиотека –биссектриса II и IV координатных углов (рис.2).

Системы и совокупности уравнений - №79 - открытая онлайн библиотека Выполним построение:

Системы и совокупности уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека Системы и совокупности уравнений - №81 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2

Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.

Пример 5.Решить систему Системы и совокупности уравнений - №82 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Система содержит однородное уравнение.

Так как Системы и совокупности уравнений - №83 - открытая онлайн библиотека получим:

Системы и совокупности уравнений - №84 - открытая онлайн библиотека

Из второго уравнения найдем х:

Системы и совокупности уравнений - №85 - открытая онлайн библиотека Системы и совокупности уравнений - №86 - открытая онлайн библиотека Системы и совокупности уравнений - №87 - открытая онлайн библиотека .

Получаем совокупность двух систем:

Системы и совокупности уравнений - №88 - открытая онлайн библиотека

Приходим к ответу: Системы и совокупности уравнений - №89 - открытая онлайн библиотека и Системы и совокупности уравнений - №90 - открытая онлайн библиотека