Систем методом перемещений

СТЕПЕНЬ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ

ПЛОСКОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ

В методе перемещений неизвестными параметрами являются обобщенные перемещения узлов конструкции: в шарнирных узлах определяются линейные перемещения; в жестких узлах кроме линейных перемещений определяются также их углы поворота. Степенью кинематической неопределимости (СКН) называется общее число неизвестных углов поворота и независимых линейных перемещений узлов конструкции. Для плоских стержневых систем СКН определяется по формуле Систем методом перемещений - №1 - открытая онлайн библиотека , где Систем методом перемещений - №2 - открытая онлайн библиотека - число жестких узлов; Систем методом перемещений - №3 - открытая онлайн библиотека - число независимых линейных перемещений всех узлов системы.

На рис. 2.11 показана плоская рама с неизвестными обобщенными перемещениями Систем методом перемещений - №4 - открытая онлайн библиотека , для которой Систем методом перемещений - №5 - открытая онлайн библиотека Таким образом Систем методом перемещений - №6 - открытая онлайн библиотека , что представляет достаточно большую величину.

Систем методом перемещений - №7 - открытая онлайн библиотека

С целью уменьшения СКН при расчете рам в методе перемещений вводятся два допущения, несущественно влияющие на результаты расчета: 1) считается, что в продольном направлении стержни являются абсолютно жесткими ( Систем методом перемещений - №8 - открытая онлайн библиотека ); 2) считается, что проекция изогнутого стержня на его недеформированную ось равна начальной длине стержня. Первое из этих допущений уже принималось ранее при определении перемещений в рамах, а второе допущение обусловлено малостью перемещений по сравнению с размерами конструкции (принцип геометрической неизменяемости системы).

С учетом данных допущений для рассмотренной рамы имеем: Систем методом перемещений - №9 - открытая онлайн библиотека Систем методом перемещений - №10 - открытая онлайн библиотека . Таким образом Систем методом перемещений - №11 - открытая онлайн библиотека , а СКН=3, что существенно меньше по сравнению с начальным результатом.

ОСНОВНАЯ СИСТЕМА МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Основная система (ОС) метода перемещений получается из заданной системы путем введения в нее дополнительных связей: в жестких узлах вводятся заделки, препятствующие повороту данных узлов; кроме того, вводятся опорные стержни, препятствующие независимым линейным перемещениям узлов. Число заделок равно Систем методом перемещений - №2 - открытая онлайн библиотека , число дополнительных опорных стержней равно Систем методом перемещений - №3 - открытая онлайн библиотека . По направлениям дополнительных связей указываются неизвестные обобщенные перемещения узлов, которые далее будут обозначаться как Систем методом перемещений - №14 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №15 - открытая онлайн библиотека . В отличие от метода сил, в методе перемещений из заданной системы можно получить только одну ОС. На рис. 2.12 приведены примеры получения ОС метода перемещений.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Неизвестные перемещения Систем методом перемещений - №14 - открытая онлайн библиотека определяются из условий отсутствия реакций дополнительных связей в ОС, возникающих совместно от этих перемещений и заданной нагрузки. Эти условия записываются в виде канонических уравнений метода перемещений. Рассмотрим получение данных уравнений на примере системы, имеющей Систем методом перемещений - №17 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.13).

На рис. 2.14а показана ОС с неизвестными перемещениями Систем методом перемещений - №18 - открытая онлайн библиотека и заданной нагрузкой. Заданная система, как и прежде, считается линейно-деформируемой. Тогда исходное состояние ОС можно разложить на три независимых состояния: состояние от перемещения Систем методом перемещений - №19 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.14б); состояние от перемещения Систем методом перемещений - №20 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.14в) и состояние от нагрузки (рис. 2.14г). В каждом из этих состояний элементы ОС определенным образом деформируются и поэтому в узлах, где введены дополнительные связи, возникают реакции данных связей: от перемещения Систем методом перемещений - №19 - открытая онлайн библиотека - реакции Систем методом перемещений - №22 - открытая онлайн библиотека ; от перемещения Систем методом перемещений - №23 - открытая онлайн библиотека - реакции Систем методом перемещений - №24 - открытая онлайн библиотека и от нагрузки - реакции Систем методом перемещений - №25 - открытая онлайн библиотека . Положительные направления отмеченных реакций совпадают с направлениями соответствующих неизвестных перемещений Систем методом перемещений - №18 - открытая онлайн библиотека .

Систем методом перемещений - №27 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №28 - открытая онлайн библиотека Чтобы ОС была эквивалентной заданной системе, алгебраическая сумма реакций дополнительных связей в направлении каждого неизвестного перемещения должна быть равна нулю (в заданной системе дополнительные связи отсутствуют):

Систем методом перемещений - №29 - открытая онлайн библиотека

В линейно-деформируемой системе реакции дополнительных связей от перемещений Систем методом перемещений - №30 - открытая онлайн библиотека Систем методом перемещений - №20 - открытая онлайн библиотека прямо пропорциональны этим перемещениям: Систем методом перемещений - №32 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №33 - открытая онлайн библиотека Каждый коэффициент пропорциональности Систем методом перемещений - №34 - открытая онлайн библиотека есть реакция дополнительной связи в направлении перемещения Систем методом перемещений - №35 - открытая онлайн библиотека от перемещения Систем методом перемещений - №36 - открытая онлайн библиотека . Поэтому коэффициенты Систем методом перемещений - №37 - открытая онлайн библиотека называются коэффициентами жесткости.

Систем методом перемещений - №38 - открытая онлайн библиотека

Подставляя последние соотношения в предыдущие равенства, получаем канонические уравнения для случая Систем методом перемещений - №39 - открытая онлайн библиотека :

Систем методом перемещений - №40 - открытая онлайн библиотека

Данные уравнения можно обобщить на случай Систем методом перемещений - №41 - открытая онлайн библиотека :

Систем методом перемещений - №42 - открытая онлайн библиотека

или в матричной форме:

Систем методом перемещений - №43 - открытая онлайн библиотека .

Здесь

Систем методом перемещений - №44 - открытая онлайн библиотека

представляют соответственно матрицу жесткости, вектор неизвестных перемещений и вектор свободных членов канонических уравнений.

Свойства матрицы жесткости. Матрица Систем методом перемещений - №45 - открытая онлайн библиотека всегда является симметричной ( Систем методом перемещений - №46 - открытая онлайн библиотека ) и положительно определенной ( Систем методом перемещений - №47 - открытая онлайн библиотека ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ

И СВОБОДНЫХ ЧЛЕНОВ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Коэффициенты при неизвестных (коэффициенты жесткости) Систем методом перемещений - №48 - открытая онлайн библиотека и свободные члены Систем методом перемещений - №49 - открытая онлайн библиотека канонических уравнений по физическому смыслу представляют реакции дополнительных связей в ОС в направлениях неизвестных перемещений Систем методом перемещений - №35 - открытая онлайн библиотека . Поэтому их можно определить из равновесия узлов или частей ОС, содержащих дополнительные связи. С этой целью в ОС строятся эпюры Систем методом перемещений - №51 - открытая онлайн библиотека от перемещений Систем методом перемещений - №52 - открытая онлайн библиотека и эпюра Систем методом перемещений - №53 - открытая онлайн библиотека от нагрузки.

Дополнительные связи делят ОС на типовые элементы - однопролетные статически неопределимые балки. При расчете плоских рам встречаются элементы двух типов (рис. 2.15).

Систем методом перемещений - №54 - открытая онлайн библиотека

Эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений и нагрузки в указанных типовых элементах берутся из справочных данных (см. таблицу 2.1). Направления реакций в справочных данных указаны действительными.

Пример определения Систем методом перемещений - №48 - открытая онлайн библиотека и Систем методом перемещений - №49 - открытая онлайн библиотека для плоской рамы (рис. 2.16а).

Систем методом перемещений - №57 - открытая онлайн библиотека

В заданной раме Систем методом перемещений - №58 - открытая онлайн библиотека Отсюда Систем методом перемещений - №39 - открытая онлайн библиотека . Основная система (рис. 2.16б) содержит два неизвестных перемещения, определяемые из канонических уравнений

Систем методом перемещений - №60 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №61 - открытая онлайн библиотека

Для определения коэффициентов при неизвестных Систем методом перемещений - №62 - открытая онлайн библиотека и свободных членов Систем методом перемещений - №63 - открытая онлайн библиотека этих уравнений строим в ОС эпюры Систем методом перемещений - №64 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.17а, 2.17б, 2.17в) соответственно от перемещений Систем методом перемещений - №65 - открытая онлайн библиотека и заданной нагрузки с использованием справочных данных, приведенных в таблице 2.1. Коэффициенты жесткости Систем методом перемещений - №66 - открытая онлайн библиотека и реакция Систем методом перемещений - №67 - открытая онлайн библиотека определяются согласно их физическому смыслу из равновесия моментов в узле, содержащем первую дополнительную связь (рис. 2.18). Для определения Систем методом перемещений - №68 - открытая онлайн библиотека и Систем методом перемещений - №69 - открытая онлайн библиотека рассматривается равновесие сил в части ОС, содержащей вторую дополнительную связь (рис. 2.18). Необходимые для этого поперечные силы в поперечных сечениях стоек проще всего определять как производные от изгибающих моментов. Направления этих сил можно определить по правилу: если в каком-либо сечении ось стержня стремится поворачиваться при совмещении с касательной к эпюре моментов по часовой стрелке, то в этом сечении Систем методом перемещений - №70 - открытая онлайн библиотека . Если поперечная сила в сечении стержня определяется от действия нагрузки на данном стержне, то она направляется по этой нагрузке.

По рис. 2.18 получаем: Систем методом перемещений - №71 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №72 - открытая онлайн библиотека .

Систем методом перемещений - №73 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №74 - открытая онлайн библиотека

Таблица 2.1. Справочные данные для типовых элементов.

Систем методом перемещений - №75 - открытая онлайн библиотека

Продолжение таблицы 2.1.

Систем методом перемещений - №76 - открытая онлайн библиотека

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ВНУТРЕННИХ

СИЛ В ЗАДАННОЙ СИСТЕМЕ

Систем методом перемещений - №77 - открытая онлайн библиотека После определения из канонических уравнений перемещений Систем методом перемещений - №78 - открытая онлайн библиотека сначала строится эпюра Систем методом перемещений - №79 - открытая онлайн библиотека . Для этого используется известный принцип суперпозиции: Систем методом перемещений - №80 - открытая онлайн библиотека . Поперечные силы Систем методом перемещений - №81 - открытая онлайн библиотека можно определить из равновесия участков конструкции. Рассмотрим один такой участок, на котором действует постоянная распределенная нагрузка Систем методом перемещений - №82 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.19). Направление Систем методом перемещений - №82 - открытая онлайн библиотека вниз считается положительным. Изгибающие моменты Систем методом перемещений - №84 - открытая онлайн библиотека по краям участка находятся по эпюре Систем методом перемещений - №79 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.19 эти моменты и изображены в положительных направлениях). Так как Систем методом перемещений - №86 - открытая онлайн библиотека , то достаточно определить значения Систем методом перемещений - №81 - открытая онлайн библиотека по краям участка, составляя для этого два уравнения равновесия:

Систем методом перемещений - №88 - открытая онлайн библиотека

Из этих уравнений получаем поперечные силы Систем методом перемещений - №89 - открытая онлайн библиотека (на рис. 2.19 направления этих сил являются положительными):

Систем методом перемещений - №90 - открытая онлайн библиотека

Моменты Систем методом перемещений - №84 - открытая онлайн библиотека следует подставлять в эти формулы с учетом их знаков. При Систем методом перемещений - №92 - открытая онлайн библиотека формулы для Систем методом перемещений - №89 - открытая онлайн библиотека дают на участке Систем методом перемещений - №94 - открытая онлайн библиотека Систем методом перемещений - №95 - открытая онлайн библиотека . Данные формулы справедливы и для вертикальных участков, если рис. 2.19 повернуть на Систем методом перемещений - №96 - открытая онлайн библиотека против хода часовой стрелки.

Продольные силы Систем методом перемещений - №97 - открытая онлайн библиотека в стержнях определяются по известным поперечным силам Систем методом перемещений - №81 - открытая онлайн библиотека из равновесия узлов конструкции. Правильность построения эпюр Систем методом перемещений - №99 - открытая онлайн библиотека проверяется составлением уравнений равновесия для всей конструкции. Необходимые для этого реакции опор и их действительные направления можно определить непосредственно по эпюрам Систем методом перемещений - №99 - открытая онлайн библиотека .

Пример расчета статически неопределимой

рамы (рис.2.20) методом перемещений.

Дано: Систем методом перемещений - №101 - открытая онлайн библиотека . Построить эпюры Систем методом перемещений - №102 - открытая онлайн библиотека .

1. Определение СКН и получение ОС

В заданной раме Систем методом перемещений - №103 - открытая онлайн библиотека Отсюда Систем методом перемещений - №104 - открытая онлайн библиотека . Основная система (рис. 2.21) получается из заданной путем введения одной дополнительной связи - заделки в жестком узле конструкции. Неизвестное обобщенное перемещение (угол поворота данного узла) Систем методом перемещений - №105 - открытая онлайн библиотека определяется из канонического уравнения

Систем методом перемещений - №106 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №107 - открытая онлайн библиотека

2. Построение эпюр Систем методом перемещений - №108 - открытая онлайн библиотека , Систем методом перемещений - №53 - открытая онлайн библиотека в ОС

Эпюры Систем методом перемещений - №108 - открытая онлайн библиотека и Систем методом перемещений - №53 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.22, рис. 2.23) строятся в ОС соответственно от перемещения Систем методом перемещений - №112 - открытая онлайн библиотека и нагрузки по справочным данным для типовых элементов метода перемещений (табл. 2.1).

Систем методом перемещений - №113 - открытая онлайн библиотека

3. Определение Систем методом перемещений - №114 - открытая онлайн библиотека и перемещения Систем методом перемещений - №105 - открытая онлайн библиотека

Коэффициент Систем методом перемещений - №116 - открытая онлайн библиотека и свободный член Систем методом перемещений - №117 - открытая онлайн библиотека канонического уравнения представляют реакции дополнительной связи в направлении Систем методом перемещений - №105 - открытая онлайн библиотека соответственно от Систем методом перемещений - №119 - открытая онлайн библиотека перемещения Систем методом перемещений - №112 - открытая онлайн библиотека и заданной нагрузки. Поэтому их можно определить из равновесия внешних и внутренних моментов в узле ОС, содержащем дополнительную связь (рис. 2.24): Систем методом перемещений - №121 - открытая онлайн библиотека ; Систем методом перемещений - №122 - открытая онлайн библиотека . Перемещение Систем методом перемещений - №105 - открытая онлайн библиотека определяется из канонического уравнения: Систем методом перемещений - №124 - открытая онлайн библиотека Систем методом перемещений - №125 - открытая онлайн библиотека .

4. Построение эпюр Систем методом перемещений - №102 - открытая онлайн библиотека в заданной системе

Эпюра Систем методом перемещений - №79 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.25а) строится по принципу суперпозиции: Систем методом перемещений - №128 - открытая онлайн библиотека .

Систем методом перемещений - №129 - открытая онлайн библиотека

Поперечные силы на участках конструкции определяются по известным изгибающим моментам с использованием полученных выше формул:

Участок BC: Систем методом перемещений - №130 - открытая онлайн библиотека

Участок CD: Систем методом перемещений - №131 - открытая онлайн библиотека

Участок DE: Систем методом перемещений - №132 - открытая онлайн библиотека

Участок AD: Систем методом перемещений - №133 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №134 - открытая онлайн библиотека

Систем методом перемещений - №135 - открытая онлайн библиотека По полученным результатам строится эпюра Систем методом перемещений - №81 - открытая онлайн библиотека (рис. 25б). Продольные силы Систем методом перемещений - №97 - открытая онлайн библиотека в стержнях определяются по известным поперечным силам Систем методом перемещений - №81 - открытая онлайн библиотека из равновесия узла D рамы (рис. 25в). Направления Систем методом перемещений - №81 - открытая онлайн библиотека и Систем методом перемещений - №97 - открытая онлайн библиотека в сечениях вокруг узла берутся действительными. Эпюра Систем методом перемещений - №97 - открытая онлайн библиотека показана на рис. 25г. Правильность расчета проверяется с помощью уравнений равновесия для всей конструкции (рис. 2.26). Необходимые для этого реакции опор и их действительные направления определяются непосредственно по эпюрам Систем методом перемещений - №142 - открытая онлайн библиотека .

Систем методом перемещений - №143 - открытая онлайн библиотека