Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

Синусоидально изменяющийся ток - №1 - открытая онлайн библиотека Синусоидально изменяющийся ток - №2 - открытая онлайн библиотека .

Синусоидально изменяющийся ток - №3 - открытая онлайн библиотека
Значения аргументов синусоидальных функций Синусоидально изменяющийся ток - №4 - открытая онлайн библиотека и Синусоидально изменяющийся ток - №5 - открытая онлайн библиотека называются фазамисинусоид, а значение фазы в начальный момент времени (t=0): Синусоидально изменяющийся ток - №6 - открытая онлайн библиотека и Синусоидально изменяющийся ток - №7 - открытая онлайн библиотека - начальной фазой( Синусоидально изменяющийся ток - №8 - открытая онлайн библиотека Синусоидально изменяющийся ток - №9 - открытая онлайн библиотека ).

Величину Синусоидально изменяющийся ток - №10 - открытая онлайн библиотека , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой.Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на Синусоидально изменяющийся ток - №11 - открытая онлайн библиотека рад., то угловая частота есть Синусоидально изменяющийся ток - №12 - открытая онлайн библиотека , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

Синусоидально изменяющийся ток - №13 - открытая онлайн библиотека .

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами.При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени (t=0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w. Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Синусоидально изменяющийся ток - №14 - открытая онлайн библиотека

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток Синусоидально изменяющийся ток - №15 - открытая онлайн библиотека равен сумме токов Синусоидально изменяющийся ток - №16 - открытая онлайн библиотека и Синусоидально изменяющийся ток - №17 - открытая онлайн библиотека двух ветвей: Синусоидально изменяющийся ток - №18 - открытая онлайн библиотека

Синусоидально изменяющийся ток - №19 - открытая онлайн библиотека .

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Синусоидально изменяющийся ток - №20 - открытая онлайн библиотека и Синусоидально изменяющийся ток - №21 - открытая онлайн библиотека .

Результирующий ток также будет синусоидален:

Синусоидально изменяющийся ток - №22 - открытая онлайн библиотека .

Определение амплитуды Синусоидально изменяющийся ток - №23 - открытая онлайн библиотека и начальной фазы Синусоидально изменяющийся ток - №24 - открытая онлайн библиотека этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы. Синусоидально изменяющийся ток - №25 - открытая онлайн библиотека На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным Синусоидально изменяющийся ток - №26 - открытая онлайн библиотека .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Синусоидально изменяющийся ток - №27 - открытая онлайн библиотека .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения Синусоидально изменяющийся ток - №23 - открытая онлайн библиотека и Синусоидально изменяющийся ток - №24 - открытая онлайн библиотека из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения Синусоидально изменяющийся ток - №15 - открытая онлайн библиотека путем формального учета угловой частоты: Синусоидально изменяющийся ток - №31 - открытая онлайн библиотека .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Синусоидально изменяющийся ток - №32 - открытая онлайн библиотека Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной Синусоидально изменяющийся ток - №33 - открытая онлайн библиотека

тригонометрической Синусоидально изменяющийся ток - №34 - открытая онлайн библиотека или

алгебраической Синусоидально изменяющийся ток - №35 - открытая онлайн библиотека - формах.

Например, ЭДС Синусоидально изменяющийся ток - №36 - открытая онлайн библиотека , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Синусоидально изменяющийся ток - №37 - открытая онлайн библиотека .

Фазовый угол Синусоидально изменяющийся ток - №38 - открытая онлайн библиотека определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

Синусоидально изменяющийся ток - №39 - открытая онлайн библиотека .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Синусоидально изменяющийся ток - №40 - открытая онлайн библиотека , (4)

Комплексное число Синусоидально изменяющийся ток - №41 - открытая онлайн библиотека удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Синусоидально изменяющийся ток - №42 - открытая онлайн библиотека , (5)

Параметр Синусоидально изменяющийся ток - №43 - открытая онлайн библиотека , соответствующий положению вектора для t=0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: Синусоидально изменяющийся ток - №44 - открытая онлайн библиотека , а параметр Синусоидально изменяющийся ток - №45 - открытая онлайн библиотека - комплексом мгновенного значения.

Параметр Синусоидально изменяющийся ток - №46 - открытая онлайн библиотека является оператором поворота вектора на угол wt относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота Синусоидально изменяющийся ток - №47 - открытая онлайн библиотека есть его поворот относительно первоначального положения на угол ±a.

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды Синусоидально изменяющийся ток - №43 - открытая онлайн библиотека и оператора поворота Синусоидально изменяющийся ток - №46 - открытая онлайн библиотека :

Синусоидально изменяющийся ток - №50 - открытая онлайн библиотека .

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Синусоидально изменяющийся ток - №51 - открытая онлайн библиотека , (6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

Синусоидально изменяющийся ток - №52 - открытая онлайн библиотека ,

- то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу Синусоидально изменяющийся ток - №53 - открытая онлайн библиотека , т.е. угол, который образует вектор Синусоидально изменяющийся ток - №54 - открытая онлайн библиотека с положительной полуосью +1:

Синусоидально изменяющийся ток - №55 - открытая онлайн библиотека .

Тогда мгновенное значение напряжения:

Синусоидально изменяющийся ток - №56 - открытая онлайн библиотека ,

где Синусоидально изменяющийся ток - №57 - открытая онлайн библиотека .

При записи выражения для определенности было принято, что Синусоидально изменяющийся ток - №58 - открытая онлайн библиотека , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если Синусоидально изменяющийся ток - №59 - открытая онлайн библиотека , то при Синусоидально изменяющийся ток - №60 - открытая онлайн библиотека (второй квадрант)

Синусоидально изменяющийся ток - №61 - открытая онлайн библиотека , (7)

а при Синусоидально изменяющийся ток - №62 - открытая онлайн библиотека (третий квадрант)

Синусоидально изменяющийся ток - №63 - открытая онлайн библиотека (8)

или

Синусоидально изменяющийся ток - №64 - открытая онлайн библиотека (9)

Если задано мгновенное значение тока в виде Синусоидально изменяющийся ток - №65 - открытая онлайн библиотека , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Синусоидально изменяющийся ток - №66 - открытая онлайн библиотека .

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока Синусоидально изменяющийся ток - №15 - открытая онлайн библиотека по рис. 5 получим:

Синусоидально изменяющийся ток - №68 - открытая онлайн библиотека
где Синусоидально изменяющийся ток - №69 - открытая онлайн библиотека
;

Синусоидально изменяющийся ток - №70 - открытая онлайн библиотека .